Номер 640, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

640. Стороны основания наклонного параллелепипеда 2 дм и $\sqrt{2}$ дм, а угол между ними 135°. Диагональное сечение параллелепипеда, содержащее большую диагональ основания, перпендикулярно ему и является ромбом. Если боковое ребро параллелепипеда наклонено к основанию под углом 45°, то его объем равен:

1) $4\sqrt{5}$ дм$^{3}$;

2) $2\sqrt{10}$ дм$^{3}$;

3) 2 дм$^{3}$;

4) 4 дм$^{3}$;

5) $2\sqrt{5}$ дм$^{3}$.

1. Нахождение площади основания
Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 2$ дм, $b = \sqrt{2}$ дм и углом между ними $\alpha = 135^\circ$. Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади параллелограмма:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S_{осн} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$ дм².

2. Нахождение большей диагонали основания
Для определения большей диагонали основания воспользуемся теоремой косинусов. В параллелограмме два угла: $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Большая диагональ ($d_{большая}$) лежит напротив большего (тупого) угла.

$d_{большая}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ)$

Подставим значения, учитывая, что $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$d_{большая}^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 + 2 + 4 \cdot \frac{2}{2} = 6 + 4 = 10$

Отсюда, $d_{большая} = \sqrt{10}$ дм.

3. Нахождение длины бокового ребра
В условии сказано, что диагональное сечение, содержащее большую диагональ основания, является ромбом. Сторонами этого сечения являются большая диагональ основания ($d_{большая}$) и боковое ребро параллелепипеда ($l$). В ромбе все стороны равны, следовательно:

$l = d_{большая} = \sqrt{10}$ дм.

4. Нахождение высоты параллелепипеда
Высота параллелепипеда ($H$) может быть найдена через длину бокового ребра ($l$) и угол его наклона к плоскости основания ($\beta = 45^\circ$).

$H = l \cdot \sin(\beta)$

Подставим известные значения:

$H = \sqrt{10} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ дм.

5. Нахождение объема параллелепипеда
Объем ($V$) наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

$V = S_{осн} \cdot H$

$V = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ дм³.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 5.

Ответ: $2\sqrt{5}$ дм³.