Номер 646, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

646. Если объем шара, вписанного в равносторонний конус, равен $10\frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$,

то объем этого конуса равен:

1) $24\pi \text{ см}^3$;

2) $20\pi \text{ см}^3$;

3) $25\pi \text{ см}^3$;

4) $24\frac{1}{3}\pi \text{ см}^3$;

5) $21\pi \text{ см}^3$.

Для решения задачи найдем сначала радиус вписанного шара, используя его объем. Затем, зная, что конус равносторонний, установим связь между радиусом шара и параметрами конуса (высотой и радиусом основания). Наконец, вычислим объем конуса.

1. Нахождение радиуса вписанного шара
Объем шара ($V_{\text{ш}}$) задан как $10\frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$. Переведем это значение в неправильную дробь:
$V_{\text{ш}} = \frac{10 \cdot 3 + 2}{3}\pi = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3$.
Формула для объема шара радиусом $r$: $V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Приравняем два выражения для объема, чтобы найти $r$:
$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{32}{3}\pi$
Сократив на $\frac{\pi}{3}$, получим:
$4r^3 = 32$
$r^3 = 8$
$r = 2$ см.

2. Определение параметров конуса
В равностороннем конусе осевое сечение является равносторонним треугольником. Радиус вписанного шара ($r$) равен радиусу окружности, вписанной в этот треугольник. Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике составляет одну треть его высоты ($H$):
$r = \frac{1}{3}H$.
Зная $r = 2$ см, находим высоту конуса:
$H = 3r = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Высота $H$ и радиус основания $R$ равностороннего конуса связаны соотношением $H = R\sqrt{3}$. Отсюда найдем радиус основания:
$R = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема конуса
Объем конуса ($V_{\text{к}}$) вычисляется по формуле: $V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $H = 6$ см:
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 6$
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi (4 \cdot 3) \cdot 6$
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 6$
$V_{\text{к}} = 4\pi \cdot 6 = 24\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $24\pi \text{ см}^3$.