Номер 650, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

650. Вычислите площадь полной поверхности:

а) правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 6 см;

б) правильного тетраэдра, ребро которого равно 10 см.

а) правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 6 см;

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

1. Находим площадь основания.
В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. По условию, его сторона $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ см².

2. Находим площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольных граней. Поскольку все ребра призмы равны 6 см, боковые грани являются квадратами со стороной 6 см. Площадь одной боковой грани (квадрата) равна $6 \cdot 6 = 36$ см².
Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей трех граней:
$S_{бок} = 3 \cdot 36 = 108$ см².

3. Вычисляем площадь полной поверхности.
Складываем удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (9 \sqrt{3}) + 108 = 18 \sqrt{3} + 108$ см².

Ответ: $18 \sqrt{3} + 108$ см².

б) правильного тетраэдра, ребро которого равно 10 см.

Правильный тетраэдр — это многогранник, поверхность которого состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Площадь его полной поверхности ($S_{полн}$) равна учетверенной площади одной его грани.

1. Находим площадь одной грани.
Грань представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 10$ см. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{грани} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ см².

2. Вычисляем площадь полной поверхности.
Умножаем площадь одной грани на количество граней (4):
$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 25 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3}$ см².

Ответ: $100 \sqrt{3}$ см².