Номер 647, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

647. Образующая конуса наклонена к его основанию под углом $45^\circ$. Построено сечение конуса, содержащее две образующие. Если сечение наклонено к основанию под углом $60^\circ$ и удалено от центра основания на $2\sqrt{3}$ см, то его площадь равна:

1) $64\sqrt{2}$ см$^{\text{2}}$;

2) 64 см$^{\text{2}};$

3) 48 см$^{\text{2}};$

4) $32\sqrt{2}$ см$^{\text{2}};$

5) $24\sqrt{2}$ см$^{\text{2}}.$

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса, а $L$ — длина образующей. По условию, образующая наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным прямоугольным треугольником. Отсюда следует, что высота конуса равна радиусу его основания: $H = R$. Также из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, получаем $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.

Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Стороны $SA$ и $SB$ являются образующими, т.е. $SA = SB = L$. Основание этого треугольника — хорда $AB$.

Угол наклона сечения к основанию — это двугранный угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$ (как медиана и высота в равнобедренном треугольнике $OAB$) и $SM \perp AB$ (как медиана и высота в равнобедренном треугольнике $SAB$). Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом этого двугранного угла. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SMO$. Он является прямоугольным, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OM$. Таким образом, $\angle SOM = 90^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости сечения $(SAB)$ равно длине перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SAB)$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $SMO$ (так как плоскость $SMO$ перпендикулярна линии пересечения плоскостей $AB$), и его основание $K$ лежит на прямой $SM$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $SMO$, проведенная к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = 2\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ (с прямым углом $K$) мы знаем катет $OK = 2\sqrt{3}$ и угол $\angle OMK = \angle SMO = 60^\circ$. Тогда гипотенуза $OM$ равна: $OM = \frac{OK}{\sin(\angle OMK)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SMO$ найдем высоту конуса $H = SO$ и высоту сечения $SM$: $H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ см. $SM = \frac{OM}{\cos(\angle SMO)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Так как $H = R$, то радиус основания $R = 4\sqrt{3}$ см.

Далее найдем длину хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$ в плоскости основания. По теореме Пифагора: $AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - OM^2 = (4\sqrt{3})^2 - 4^2 = 48 - 16 = 32$. $AM = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см. Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $SAB$: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².