Номер 648, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

648. Прямоугольная трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$, $\angle A = 90^\circ$) вращается вокруг оси, содержащей сторону $AB$. Если $BD = 10$ см, $BC = 2$ см и $\angle DBC = 60^\circ$, то объем тела вращения равен:

1) $\frac{335\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$;

2) $\frac{215}{3}\pi$ см$^3$;

3) $\frac{145\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$;

4) $195\sqrt{3}\pi$ см$^3$;

5) $65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$, является усеченным конусом. Высота этого усеченного конуса равна высоте трапеции $h = AB$, а радиусы его оснований равны основаниям трапеции: $R = AD$ (больший радиус) и $r = BC$ (меньший радиус).

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Из условия задачи нам известны:

• Меньший радиус $r = BC = 2$ см.
• Диагональ $BD = 10$ см.
• Угол $\angle DBC = 60°$.

Нам необходимо найти высоту $h = AB$ и больший радиус $R = AD$.

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle ADB = \angle DBC = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (так как по условию $\angle A = 90°$). В этом треугольнике:

• гипотенуза $BD = 10$ см;
• угол $\angle ADB = 60°$.

Найдем катеты $AB$ и $AD$ с помощью тригонометрических функций:

Высота $h = AB = BD \cdot \sin(\angle ADB) = 10 \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Больший радиус $R = AD = BD \cdot \cos(\angle ADB) = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления объема:

• $h = 5\sqrt{3}$ см
• $R = 5$ см
• $r = 2$ см

Подставим эти значения в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot (25 + 10 + 4)$

$V = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot 39$

$V = 5\sqrt{3}\pi \cdot \frac{39}{3}$

$V = 5\sqrt{3}\pi \cdot 13$

$V = 65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Этот результат соответствует варианту ответа 5.

Решение

Тело вращения представляет собой усеченный конус с высотой $h=AB$, радиусом большего основания $R=AD$ и радиусом меньшего основания $r=BC=2$ см. Поскольку $AD \parallel BC$, то $\angle ADB = \angle DBC = 60°$ как накрест лежащие углы. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($\angle A = 90°$) с гипотенузой $BD=10$ см находим катеты: $h = AB = BD \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см; $R = AD = BD \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см. Объем усеченного конуса равен: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2) = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi (25 + 10 + 4) = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot 39 = 65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.
Ответ: $65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.