Номер 651, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

651. Радиусы оснований усеченного конуса равны 8 см и 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используется формула:
$S_{бок} = \pi(R + r)l$
где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, $l$ – длина образующей.

По условию задачи, радиусы оснований равны $R = 12$ см и $r = 8$ см. Нам необходимо найти длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов оснований $R - r$. Гипотенузой будет образующая $l$.

Угол наклона образующей к плоскости основания – это угол между образующей $l$ (гипотенузой) и проекцией образующей на плоскость основания, которая равна разности радиусов $R-r$ (катет). По условию этот угол равен $45^\circ$.

Найдем разность радиусов:
$R - r = 12 - 8 = 4$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике мы знаем один катет ($4$ см) и прилежащий к нему угол ($45^\circ$). Мы можем найти гипотенузу $l$:
$\cos(45^\circ) = \frac{R-r}{l}$
Отсюда выразим $l$:
$l = \frac{R-r}{\cos(45^\circ)}$
Подставим известные значения:
$l = \frac{4}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi(12 + 8) \cdot 4\sqrt{2} = \pi \cdot 20 \cdot 4\sqrt{2} = 80\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $80\pi\sqrt{2}$ см².