Страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

648. Прямоугольная трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$, $\angle A = 90^\circ$) вращается вокруг оси, содержащей сторону $AB$. Если $BD = 10$ см, $BC = 2$ см и $\angle DBC = 60^\circ$, то объем тела вращения равен:

1) $\frac{335\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$;

2) $\frac{215}{3}\pi$ см$^3$;

3) $\frac{145\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$;

4) $195\sqrt{3}\pi$ см$^3$;

5) $65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$, является усеченным конусом. Высота этого усеченного конуса равна высоте трапеции $h = AB$, а радиусы его оснований равны основаниям трапеции: $R = AD$ (больший радиус) и $r = BC$ (меньший радиус).

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Из условия задачи нам известны:

• Меньший радиус $r = BC = 2$ см.
• Диагональ $BD = 10$ см.
• Угол $\angle DBC = 60°$.

Нам необходимо найти высоту $h = AB$ и больший радиус $R = AD$.

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle ADB = \angle DBC = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (так как по условию $\angle A = 90°$). В этом треугольнике:

• гипотенуза $BD = 10$ см;
• угол $\angle ADB = 60°$.

Найдем катеты $AB$ и $AD$ с помощью тригонометрических функций:

Высота $h = AB = BD \cdot \sin(\angle ADB) = 10 \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Больший радиус $R = AD = BD \cdot \cos(\angle ADB) = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления объема:

• $h = 5\sqrt{3}$ см
• $R = 5$ см
• $r = 2$ см

Подставим эти значения в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot (25 + 10 + 4)$

$V = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot 39$

$V = 5\sqrt{3}\pi \cdot \frac{39}{3}$

$V = 5\sqrt{3}\pi \cdot 13$

$V = 65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Этот результат соответствует варианту ответа 5.

Решение

Тело вращения представляет собой усеченный конус с высотой $h=AB$, радиусом большего основания $R=AD$ и радиусом меньшего основания $r=BC=2$ см. Поскольку $AD \parallel BC$, то $\angle ADB = \angle DBC = 60°$ как накрест лежащие углы. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($\angle A = 90°$) с гипотенузой $BD=10$ см находим катеты: $h = AB = BD \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см; $R = AD = BD \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см. Объем усеченного конуса равен: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2) = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi (25 + 10 + 4) = \frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \cdot 39 = 65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.
Ответ: $65\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

649. Наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса 9 см, равен:

1) 576 $\text{см}^3$;

2) 600 $\text{см}^3$;

3) 640 $\text{см}^3$;

4) 536 $\text{см}^3$;

5) 729 $\text{см}^3$.

Пусть $R$ — радиус сферы, в которую вписана правильная четырехугольная пирамида. По условию $R = 9$ см. Обозначим высоту пирамиды как $h$, а сторону ее квадратного основания как $a$.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$.
Для нахождения наибольшего объема необходимо выразить объем как функцию одной переменной, например, высоты $h$.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и диагональ основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Основанием этого треугольника является диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, а высотой — высота пирамиды $h$.
Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, проведенным к вершине основания, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ и отрезком на высоте пирамиды, соединяющим центр сферы и центр основания. Длина этого отрезка равна $|h-R|$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = (\frac{d}{2})^2 + (h-R)^2$.
$R^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 - 2hR + R^2$.
$0 = \frac{2a^2}{4} + h^2 - 2hR$.
$\frac{a^2}{2} = 2hR - h^2$.
$a^2 = 4hR - 2h^2 = 2h(2R - h)$.
Это соотношение справедливо для $h \in (0, 2R)$.
Подставим полученное выражение для $a^2$ в формулу объема:
$V(h) = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (4hR - 2h^2) h = \frac{2}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
Чтобы найти максимальное значение объема, исследуем эту функцию на экстремум. Найдем производную функции $V(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю:
$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{2}{3} (2Rh^2 - h^3) \right) = \frac{2}{3} (4Rh - 3h^2)$.
Приравняем производную к нулю:
$V'(h) = 0 \implies \frac{2}{3} h(4R - 3h) = 0$.
Так как высота $h$ не может быть равна нулю, получаем:
$4R - 3h = 0 \implies h = \frac{4}{3}R$.
Это точка максимума, так как $V(0) = 0$, $V(2R) = 0$, а при $h = \frac{4}{3}R$ функция принимает положительное значение.
Подставим значение радиуса $R = 9$ см, чтобы найти высоту, при которой объем будет наибольшим:
$h = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12$ см.
Теперь вычислим максимальный объем, подставив $h=12$ и $R=9$ в формулу для объема:
$V_{max} = \frac{2}{3} (2 \cdot 9 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{2}{3} (18 \cdot 144 - 1728) = \frac{2}{3} (2592 - 1728) = \frac{2}{3} \cdot 864 = 2 \cdot 288 = 576$ см³.
Таким образом, наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса 9 см, равен 576 см³.

Ответ: 576 см³.

650. Вычислите площадь полной поверхности:

а) правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 6 см;

б) правильного тетраэдра, ребро которого равно 10 см.

а) правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 6 см;

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

1. Находим площадь основания.
В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. По условию, его сторона $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ см².

2. Находим площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольных граней. Поскольку все ребра призмы равны 6 см, боковые грани являются квадратами со стороной 6 см. Площадь одной боковой грани (квадрата) равна $6 \cdot 6 = 36$ см².
Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей трех граней:
$S_{бок} = 3 \cdot 36 = 108$ см².

3. Вычисляем площадь полной поверхности.
Складываем удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (9 \sqrt{3}) + 108 = 18 \sqrt{3} + 108$ см².

Ответ: $18 \sqrt{3} + 108$ см².

б) правильного тетраэдра, ребро которого равно 10 см.

Правильный тетраэдр — это многогранник, поверхность которого состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Площадь его полной поверхности ($S_{полн}$) равна учетверенной площади одной его грани.

1. Находим площадь одной грани.
Грань представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 10$ см. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{грани} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ см².

2. Вычисляем площадь полной поверхности.
Умножаем площадь одной грани на количество граней (4):
$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 25 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3}$ см².

Ответ: $100 \sqrt{3}$ см².

651. Радиусы оснований усеченного конуса равны 8 см и 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используется формула:
$S_{бок} = \pi(R + r)l$
где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, $l$ – длина образующей.

По условию задачи, радиусы оснований равны $R = 12$ см и $r = 8$ см. Нам необходимо найти длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов оснований $R - r$. Гипотенузой будет образующая $l$.

Угол наклона образующей к плоскости основания – это угол между образующей $l$ (гипотенузой) и проекцией образующей на плоскость основания, которая равна разности радиусов $R-r$ (катет). По условию этот угол равен $45^\circ$.

Найдем разность радиусов:
$R - r = 12 - 8 = 4$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике мы знаем один катет ($4$ см) и прилежащий к нему угол ($45^\circ$). Мы можем найти гипотенузу $l$:
$\cos(45^\circ) = \frac{R-r}{l}$
Отсюда выразим $l$:
$l = \frac{R-r}{\cos(45^\circ)}$
Подставим известные значения:
$l = \frac{4}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi(12 + 8) \cdot 4\sqrt{2} = \pi \cdot 20 \cdot 4\sqrt{2} = 80\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $80\pi\sqrt{2}$ см².

652. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\alpha = 60°$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади боковой поверхности пирамиды. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны $\alpha$, то площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связана с площадью основания $S_{осн}$ формулой:
$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos \alpha$
Из этой формулы можно выразить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$

1. Найдем площадь основания пирамиды. Основанием является прямоугольный треугольник, площадь которого равна половине произведения его катетов.
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Угол наклона боковых граней к основанию равен $\alpha = 60°$. Найдем косинус этого угла:
$\cos(60°) = \frac{1}{2}$

3. Теперь подставим найденные значения в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{24}{\frac{1}{2}} = 24 \cdot 2 = 48$ см².

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет 48 см².
Ответ: 48 см².

653. Найдите объем шара, если известно уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$ его поверхности.

Для нахождения объема шара необходимо определить его радиус. Радиус можно найти, приведя уравнение поверхности шара (сферы) к каноническому виду: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Исходное уравнение поверхности: $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы собрать вместе переменные $x$, $y$ и $z$:
$x^2 - x + y^2 - y + z^2 - z = 1$.

Теперь применим метод дополнения до полного квадрата для каждой переменной. Для этого к выражению вида $a^2 - 2ab$ нужно добавить $b^2$, чтобы получить $(a-b)^2$.

Для $x$: $x^2 - x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Аналогично для $y$ и $z$:
$y^2 - y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
$z^2 - z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + ((y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + ((z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 1$.

Теперь перенесем все числовые члены в правую часть уравнения:
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Из канонического вида уравнения мы видим, что квадрат радиуса $R^2 = \frac{7}{4}$.
Следовательно, радиус шара равен $R = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим значение радиуса:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{7})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{7\sqrt{7}}{8}$.

Упростим выражение:
$V = \frac{4 \cdot 7\sqrt{7}}{3 \cdot 8}\pi = \frac{28\sqrt{7}}{24}\pi = \frac{7\sqrt{7}}{6}\pi$.

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{7}}{6}\pi$.

654. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны и каждая из них – квадрат со стороной $a$. Найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $BA_1$.

Из условия задачи следует, что боковые грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются квадратами со стороной $a$. Это означает, что боковое ребро $AA_1 = a$ и стороны основания $AB = a$, $AC = a$. Так как боковые грани являются квадратами, боковые ребра перпендикулярны сторонам основания, к которым они примыкают ($AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$). Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой.
Также по условию, грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны. Угол между этими плоскостями, пересекающимися по прямой $AA_1$, равен линейному углу двугранного угла, который образуют перпендикуляры к ребру $AA_1$, проведенные в этих плоскостях. Такими перпендикулярами являются отрезки $AB$ и $AC$. Таким образом, $\angle BAC = 90^\circ$. Значит, в основании призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с катетами $AB = a$ и $AC = a$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BA_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль ребра $AB$, осью $Oy$ вдоль ребра $AC$ и осью $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$ это $\vec{s_1} = \vec{AC_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.
Направляющий вектор прямой $BA_1$ это $\vec{s_2} = \vec{BA_1} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$
Возьмем точку $M_1 = A(0, 0, 0)$ на прямой $AC_1$ и точку $M_2 = B(a, 0, 0)$ на прямой $BA_1$. Тогда вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = (a, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:
$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a)) = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, -a^2, a^2)$.
Найдем модуль этого вектора:
$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3}$.
Теперь вычислим смешанное произведение векторов, которое стоит в числителе формулы:
$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (a, 0, 0) \cdot (a^2, -a^2, a^2) = a \cdot a^2 + 0 \cdot (-a^2) + 0 \cdot a^2 = a^3$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|a^3|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a^3}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$