Страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Используя интернет-ресурсы, узнайте, в чем заключается «принцип Кавальери» для нахождения объемов тел.

2. Решите задачи Архимеда:

а) найдите радиус шара, имеющего объем конуса, радиус основания которого равен $r$, а высота равна $h$;

б) докажите, что цилиндр, основанием которого является большой круг шара, а высота равна его диаметру, имеет объем, равный $\frac{3}{2}$ объема шара.

1. Используя интернет-ресурсы, узнайте, в чем заключается «принцип Кавальери» для нахождения объемов тел.

Принцип Кавальери, названный в честь итальянского математика Бонавентуры Кавальери, гласит, что если два тела (или две плоские фигуры) имеют одинаковую высоту, и если площади их параллельных сечений на любой одинаковой высоте равны, то объемы (или площади) этих тел (или фигур) также равны.

Более формально, для объемов, принцип формулируется так: пусть два тела A и B расположены между двумя параллельными плоскостями. Если любая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает оба тела по сечениям одинаковой площади, то объемы тел A и B равны. То есть, если для любой высоты $h$ площадь сечения тела A, $S_A(h)$, равна площади сечения тела B, $S_B(h)$, то $V_A = V_B$.

Этот принцип является мощным инструментом для вычисления объемов сложных геометрических тел, особенно до развития интегрального исчисления, поскольку он позволяет сравнивать объемы неизвестных тел с объемами более простых, для которых формулы объема уже известны.

Ответ:

2. Решите задачи Архимеда:

а) найдите радиус шара, имеющего объем конуса, радиус основания которого равен r, а высота равна h;

Дано

Радиус основания конуса: $r_{конуса} = r$

Высота конуса: $h_{конуса} = h$

Объем шара равен объему конуса: $V_{шара} = V_{конуса}$

Поскольку входные параметры являются символьными, перевод в систему СИ не требуется, они уже представлены в общем виде.

Найти:

Радиус шара: $R_{шара}$

Решение

Формула для объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r_{конуса}^2 h_{конуса}$

Подставляя заданные значения радиуса и высоты конуса, получаем:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Формула для объема шара с радиусом $R_{шара}$: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R_{шара}^3$

Согласно условию задачи, объем шара равен объему конуса ($V_{шара} = V_{конуса}$). Приравниваем выражения для объемов:

$\frac{4}{3}\pi R_{шара}^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Разделим обе части уравнения на $\frac{1}{3}\pi$:

$4 R_{шара}^3 = r^2 h$

Выразим $R_{шара}^3$:

$R_{шара}^3 = \frac{r^2 h}{4}$

Чтобы найти $R_{шара}$, возьмем кубический корень из обеих частей уравнения:

$R_{шара} = \sqrt[3]{\frac{r^2 h}{4}}$

Ответ: $R_{шара} = \sqrt[3]{\frac{r^2 h}{4}}$

б) докажите, что цилиндр, основанием которого является большой круг шара, а высота равна его диаметру, имеет объем, равный $\frac{3}{2}$ объема шара.

Дано

Пусть $R$ — радиус шара.

Для цилиндра:

Радиус основания цилиндра: $r_{цилиндра}$ равен радиусу большого круга шара, следовательно, $r_{цилиндра} = R$.

Высота цилиндра: $h_{цилиндра}$ равна диаметру шара, то есть $h_{цилиндра} = 2R$.

Поскольку входные параметры являются символьными, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Доказать, что $V_{цилиндра} = \frac{3}{2} V_{шара}$

Решение

Объем шара выражается формулой:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем цилиндра выражается формулой:

$V_{цилиндра} = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра}$

Подставим заданные значения радиуса основания цилиндра ($r_{цилиндра} = R$) и высоты цилиндра ($h_{цилиндра} = 2R$) в формулу объема цилиндра:

$V_{цилиндра} = \pi (R)^2 (2R)$

$V_{цилиндра} = \pi R^2 \cdot 2R$

$V_{цилиндра} = 2\pi R^3$

Теперь выразим $\pi R^3$ из формулы объема шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow \pi R^3 = \frac{3}{4} V_{шара}$

Подставим это выражение для $\pi R^3$ в формулу объема цилиндра:

$V_{цилиндра} = 2 \left(\frac{3}{4} V_{шара}\right)$

$V_{цилиндра} = \frac{6}{4} V_{шара}$

$V_{цилиндра} = \frac{3}{2} V_{шара}$

Таким образом, доказано, что объем цилиндра, основанием которого является большой круг шара, а высота равна его диаметру, имеет объем, равный $\frac{3}{2}$ объема шара.

Ответ: Доказано.