Страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

561. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:

а) стороны его основания равны 9 м и 16 м, а отношение длин диагоналей боковых граней равно 0,75;

б) периметр основания равен 72 дм, а диагонали боковых граней равны 25 дм и 29 дм.

а)

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ и $b$ – стороны основания, а $h$ – высота.

По условию, стороны основания равны $a = 9$ м и $b = 16$ м. Боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками со сторонами $(a, h)$ и $(b, h)$. Пусть $d_1$ и $d_2$ – диагонали этих боковых граней. По теореме Пифагора:

$d_1^2 = a^2 + h^2 = 9^2 + h^2 = 81 + h^2$

$d_2^2 = b^2 + h^2 = 16^2 + h^2 = 256 + h^2$

По условию, отношение длин диагоналей равно 0,75, то есть $\frac{d_1}{d_2} = 0,75 = \frac{3}{4}$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$\frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Подставим выражения для $d_1^2$ и $d_2^2$:

$\frac{81 + h^2}{256 + h^2} = \frac{9}{16}$

Решим это уравнение относительно $h$:

$16(81 + h^2) = 9(256 + h^2)$

$1296 + 16h^2 = 2304 + 9h^2$

$16h^2 - 9h^2 = 2304 - 1296$

$7h^2 = 1008$

$h^2 = \frac{1008}{7} = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:

$V = a \cdot b \cdot h = 9 \cdot 16 \cdot 12 = 1728$ м³.

Ответ: $1728$ м³.

б)

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Периметр основания $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 72$ дм, следовательно:

$2(a+b) = 72 \implies a+b = 36$

Диагонали боковых граней равны $d_1 = 25$ дм и $d_2 = 29$ дм. Для боковых граней со сторонами $(a, h)$ и $(b, h)$ по теореме Пифагора имеем:

$d_1^2 = a^2 + h^2 \implies 25^2 = a^2 + h^2 \implies 625 = a^2 + h^2$

$d_2^2 = b^2 + h^2 \implies 29^2 = b^2 + h^2 \implies 841 = b^2 + h^2$

Получили систему из трех уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a^2 + h^2 = 625 \\ b^2 + h^2 = 841 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$(b^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 841 - 625$

$b^2 - a^2 = 216$

$(b-a)(b+a) = 216$

Так как из первого уравнения $a+b=36$, подставим это значение:

$(b-a) \cdot 36 = 216$

$b-a = \frac{216}{36} = 6$

Теперь решим систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ b - a = 6 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2b = 42 \implies b = 21$ дм.

Тогда $a = 36 - b = 36 - 21 = 15$ дм.

Найдем высоту $h$ из второго уравнения системы:

$a^2 + h^2 = 625$

$15^2 + h^2 = 625$

$225 + h^2 = 625$

$h^2 = 625 - 225 = 400$

$h = \sqrt{400} = 20$ дм.

Наконец, вычислим объем параллелепипеда:

$V = a \cdot b \cdot h = 15 \cdot 21 \cdot 20 = 6300$ дм³.

Ответ: $6300$ дм³.

562. Найдите объем прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, в которой $AC = 2$ см, $BC = 2 \sqrt{7}$ см, двугранный угол при ребре $AA_1$ равен $150^\circ$, $AM = \sqrt{7}$ см, где $M$ – середина ребра $B_1 C_1$.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы. Для решения задачи нам необходимо последовательно найти площадь основания и высоту призмы.

1. Нахождение площади основания призмы

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре $AA_1$ измеряется линейным углом между лучами $AB$ и $AC$, которые лежат в гранях $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ и перпендикулярны ребру $AA_1$. Таким образом, угол $\angle BAC$ равен заданному двугранному углу, то есть $\angle BAC = 150^\circ$.

В треугольнике $ABC$ известны две стороны $AC = 2$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см и угол между сторонами $AB$ и $AC$, $\angle BAC = 150^\circ$. Чтобы найти площадь основания, сначала найдем длину стороны $AB$, используя теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$(2\sqrt{7})^2 = AB^2 + 2^2 - 2 \cdot AB \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$

Зная, что $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$28 = AB^2 + 4 - 4 \cdot AB \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$28 = AB^2 + 4 + 2\sqrt{3}AB$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $AB$:

$AB^2 + 2\sqrt{3}AB - 24 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 12 + 96 = 108$

Корни уравнения равны $AB = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{2}$.

Так как длина стороны должна быть положительной, выбираем корень со знаком "плюс":

$AB = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания $S_{осн}$ (площадь треугольника $ABC$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

Зная, что $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Высотой прямой призмы является длина ее бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Рассмотрим треугольник $AA_1M$. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе отрезку $A_1M$. Это означает, что треугольник $AA_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $AA_1M$ имеем: $AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2$.

Из условия задачи нам известна длина $AM = \sqrt{7}$ см. Нам нужно найти длину отрезка $A_1M$.

Точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, поэтому отрезок $A_1M$ - это медиана треугольника $A_1B_1C_1$. Основания призмы конгруэнтны, поэтому $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$. Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны: $A_1B_1 = AB = 2\sqrt{3}$ см, $A_1C_1 = AC = 2$ см, и $B_1C_1 = BC = 2\sqrt{7}$ см.

Найдем квадрат длины медианы $A_1M$ по формуле:

$A_1M^2 = \frac{2(A_1B_1)^2 + 2(A_1C_1)^2 - (B_1C_1)^2}{4}$

$A_1M^2 = \frac{2(2\sqrt{3})^2 + 2(2)^2 - (2\sqrt{7})^2}{4} = \frac{2 \cdot 12 + 2 \cdot 4 - 28}{4} = \frac{24 + 8 - 28}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, $A_1M = 1$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы $H = AA_1$ из теоремы Пифагора:

$H^2 = AA_1^2 = AM^2 - A_1M^2 = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6$

$H = \sqrt{6}$ см.

3. Вычисление объема призмы

Зная площадь основания и высоту, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см$^3$.

563. Основанием призмы является правильный шестиугольник, сторона которого равна $a$. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости ее основания под углом $a$, а его ортогональная проекция на плоскость основания равна радиусу окружности, описанной около основания призмы. Найдите объем призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Его площадь равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания призмы:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его ортогональной проекцией на плоскость основания и высотой призмы. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$ (угол наклона бокового ребра к плоскости основания), а ортогональная проекция бокового ребра $L_{пр}$ — прилежащим катетом. Таким образом, они связаны соотношением: $\tan(\alpha) = \frac{H}{L_{пр}}$, откуда $H = L_{пр} \cdot \tan(\alpha)$.

По условию, длина ортогональной проекции $L_{пр}$ равна радиусу $R$ окружности, описанной около основания. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a$.

Следовательно, $L_{пр} = a$, и высота призмы равна $H = a \cdot \tan(\alpha)$.

3. Найдем объем призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a \tan(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3\tan(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3\tan(\alpha)$.

564. В наклонной четырехугольной призме боковое ребро равно 6 дм, а ее перпендикулярным сечением является ромб с диагоналями 4 дм и 3 дм. Найдите объем призмы.

Для нахождения объема наклонной призмы используется формула, связывающая площадь ее перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

$V = S_{перп} \cdot l$

где $V$ – объем призмы, $S_{перп}$ – площадь перпендикулярного сечения, а $l$ – длина бокового ребра.

Из условия задачи нам известны:

• длина бокового ребра $l = 6$ дм;
• перпендикулярным сечением является ромб с диагоналями $d_1 = 4$ дм и $d_2 = 3$ дм.

Сначала найдем площадь перпендикулярного сечения, то есть площадь ромба. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{перп} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Подставим значения диагоналей в формулу:

$S_{перп} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ дм².

Теперь, когда у нас есть площадь перпендикулярного сечения и длина бокового ребра, мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{перп} \cdot l = 6 \text{ дм}^2 \cdot 6 \text{ дм} = 36$ дм³.

Ответ: 36 дм³.

565. Из куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 9 см, вырезана треугольная пирамида $C_1ABD$. Найдите объем этой пирамиды.

Для решения задачи найдем объем пирамиды $C_1A_1BD$, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" пирамид.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию $a = 9$ см.Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле:$V_{куба} = a^3 = 9^3 = 729 \text{ см}^3$.

Пирамида $C_1A_1BD$ образуется внутри куба. Оставшиеся части куба — это четыре одинаковые треугольные пирамиды по углам куба. Вершинами этих пирамид являются те вершины куба, которые не являются вершинами пирамиды $C_1A_1BD$. Это вершины $A, C, B_1, D_1$.Рассмотрим одну из таких пирамид, например, пирамиду с вершиной в точке $A$. Ее основанием будет треугольник $A_1BD$, но удобнее рассмотреть эту же пирамиду (тетраэдр $AA_1BD$) с вершиной в точке $A_1$ и основанием $ABD$.

Основание $ABD$ представляет собой прямоугольный треугольник, так как он является половиной квадрата $ABCD$. Катеты этого треугольника равны ребру куба: $AB = AD = a = 9$ см.Площадь основания этой пирамиды:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 9^2 = \frac{81}{2} \text{ см}^2$.

Высотой этой пирамиды является ребро $AA_1$, перпендикулярное основанию $ABCD$. Таким образом, высота $h = AA_1 = a = 9$ см.Объем одной угловой пирамиды:$V_{угл} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a^2) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.$V_{угл} = \frac{1}{6} \cdot 9^3 = \frac{729}{6} = 121,5 \text{ см}^3$.

Все четыре угловые пирамиды ($A_1-ABD$, $C_1-BCD$, $B-A_1B_1C_1$ и $D-A_1C_1D_1$) конгруэнтны, и их объемы равны. Суммарный объем четырех угловых пирамид:$V_{4угл} = 4 \cdot V_{угл} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.$V_{4угл} = 4 \cdot 121,5 = 486 \text{ см}^3$.

Объем искомой пирамиды $C_1A_1BD$ равен разности объема куба и суммарного объема четырех угловых пирамид:$V_{пир} = V_{куба} - V_{4угл} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.Подставим значение $a=9$ см:$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 9^3 = \frac{1}{3} \cdot 729 = 243 \text{ см}^3$.

Ответ: $243 \text{ см}^3$.

566. Основанием четырехугольной пирамиды $PABCD$ является параллелограмм $ABCD$, причем $AB = BP = 1 \text{ дм}$, $PD = 2 \text{ дм}$, $\angle ABD = \angle BPD = 90^\circ$. Найдите объем этой пирамиды, если основание ее высоты является внутренней точкой отрезка $BD$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является параллелограмм $ABCD$. Его площадь $S_{ABCD}$ равна удвоенной площади треугольника $ABD$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD}$.

По условию $\angle ABD = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный. Его площадь равна половине произведения сторон, образующих прямой угол, то есть $AB$ и $BD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot BD$.

Таким образом, площадь основания пирамиды:

$S_{осн} = S_{ABCD} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} AB \cdot BD\right) = AB \cdot BD$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Пусть $PH$ — высота пирамиды. По условию, основание высоты, точка $H$, является внутренней точкой отрезка $BD$. Это означает, что $PH \perp BD$, и $PH$ является высотой в треугольнике $PBD$, опущенной из вершины $P$ на сторону $BD$.

Рассмотрим треугольник $PBD$. По условию $\angle BPD = 90^\circ$, $PB = 1$ дм, $PD = 2$ дм. Этот треугольник является прямоугольным.

Длину гипотенузы $BD$ можно найти по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{PB^2 + PD^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ дм.

Высоту $h = PH$, проведенную к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, можно найти по формуле $h = \frac{a \cdot b}{c}$, где $a, b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$h = PH = \frac{PB \cdot PD}{BD} = \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ дм.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные выражения для площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (AB \cdot BD) \cdot \left(\frac{PB \cdot PD}{BD}\right)$.

Длина диагонали $BD$ в этом выражении сокращается:

$V = \frac{1}{3} AB \cdot PB \cdot PD$.

Подставим известные значения $AB=1$, $PB=1$, $PD=2$:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}$ дм$^3$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ дм$^3$.

567. Найдите объем $n$-угольной усеченной пирамиды, площади оснований которой равны $289 \text{ см}^2$ и $100 \text{ см}^2$, а высота пирамиды, до которой дополнена эта усеченная пирамида, равна 9 см.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

По условию, площади оснований равны $S_1 = 289$ см² и $S_2 = 100$ см². Высота полной пирамиды, из которой получена усеченная, равна $H = 9$ см. Для вычисления объема нам необходимо найти высоту самой усеченной пирамиды $h$.

Усеченная пирамида является частью полной пирамиды, от которой отсечена подобная ей меньшая пирамида. Отношение площадей оснований этих пирамид равно квадрату отношения их высот. Пусть $H_{малой}$ — высота отсеченной (малой) пирамиды.

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{H_{малой}}{H})^2$

Подставим известные значения:

$\frac{100}{289} = (\frac{H_{малой}}{9})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{100}{289}} = \frac{H_{малой}}{9}$

$\frac{10}{17} = \frac{H_{малой}}{9}$

Отсюда находим высоту малой пирамиды:

$H_{малой} = 9 \cdot \frac{10}{17} = \frac{90}{17}$ см.

Высота усеченной пирамиды $h$ — это разность высот полной и малой пирамид:

$h = H - H_{малой} = 9 - \frac{90}{17} = \frac{9 \cdot 17 - 90}{17} = \frac{153 - 90}{17} = \frac{63}{17}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченной пирамиды. Найдем среднее геометрическое площадей оснований:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{289 \cdot 100} = \sqrt{289} \cdot \sqrt{100} = 17 \cdot 10 = 170$ см².

Подставляем все найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{63}{17} \cdot (289 + 100 + 170)$

$V = \frac{21}{17} \cdot (559)$

$V = \frac{21 \cdot 559}{17} = \frac{11739}{17}$ см³.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$11739 \div 17 = 690$ (остаток $9$).

Следовательно, $V = 690 \frac{9}{17}$ см³.

Ответ: $690 \frac{9}{17}$ см³.

568. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра, наклонена к нему под углом $60^\circ$. Эта плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде, равной 10 см, стягивающей дугу $90^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Для нахождения объема цилиндра используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Найдем $R$ и $H$ из условий задачи.

Нахождение радиуса основания R

По условию, секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде, равной 10 см, которая стягивает дугу в 90°. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 90°. Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными из центра верхнего основания к концам хорды. Этот треугольник является равнобедренным (две стороны равны радиусу $R$) и прямоугольным. Применив теорему Пифагора, получим:

$R^2 + R^2 = 10^2$

$2R^2 = 100$

$R^2 = 50 \text{ см}^2$.

Нахождение высоты цилиндра H

Секущая плоскость проходит через центр нижнего основания $O$ и наклонена к плоскости этого основания под углом 60°. Для нахождения высоты $H$ рассмотрим сечение, перпендикулярное хорде и проходящее через ее середину $M$.

Сначала найдем расстояние от центра верхнего основания $O'$ до середины хорды $M$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, высота $O'M$ к основанию (хорде) является также и медианой. Длина половины хорды составляет $10 / 2 = 5$ см. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и отрезком $O'M$, по теореме Пифагора:

$O'M = \sqrt{R^2 - 5^2} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OPM$, где $P$ – проекция точки $M$ на плоскость нижнего основания. Катет $MP$ равен высоте цилиндра $H$. Катет $OP$ равен расстоянию от центра нижнего основания до проекции середины хорды на это основание, то есть $OP = O'M = 5$ см. Угол наклона секущей плоскости к плоскости основания является двугранным углом, линейный угол которого в данном сечении равен $\angle MOP$. По условию, $\angle MOP = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OPM$ (угол $\angle OPM = 90°$) находим высоту $H$:

$\tan(\angle MOP) = \frac{MP}{OP} = \frac{H}{5}$

$\tan(60°) = \frac{H}{5}$

$H = 5 \cdot \tan(60°) = 5\sqrt{3}$ см.

Нахождение объема цилиндра

Теперь, зная $R^2 = 50$ и $H = 5\sqrt{3}$, мы можем вычислить объем цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 50 \cdot 5\sqrt{3} = 250\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $250\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$.

569. Из жести вырезан круговой сектор радиусом 18 см и дугой $240^\circ$, который свернут в коническую воронку. Найдите ее объем.

Когда круговой сектор сворачивают в коническую воронку, его радиус становится образующей конуса, а длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса.

Пусть радиус сектора равен $R$, а его центральный угол равен $\alpha$. По условию задачи $R = 18$ см и $\alpha = 240^\circ$.

1. Образующая конуса $l$ равна радиусу сектора: $l = R = 18$ см.

2. Длина дуги сектора $L$ вычисляется по формуле $L = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$. Эта величина будет равна длине окружности основания конуса $C$.
$L = \frac{2\pi \cdot 18 \cdot 240^\circ}{360^\circ} = 36\pi \cdot \frac{240}{360} = 36\pi \cdot \frac{2}{3} = 24\pi$ см.

3. Зная длину окружности основания конуса $C = L = 24\pi$ см, найдем радиус основания конуса $r$ из формулы $C = 2\pi r$.
$2\pi r = 24\pi$
$r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.

4. Высоту конуса $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой).
$l^2 = h^2 + r^2$
$h^2 = l^2 - r^2 = 18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180$
$h = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

5. Теперь вычислим объем конуса $V$ по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 6\sqrt{5} = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 6\sqrt{5} = \pi \cdot 144 \cdot 2\sqrt{5} = 288\pi\sqrt{5}$ см$^3$.

Ответ: $288\pi\sqrt{5}$ см$^3$.

570. Около правильной треугольной пирамиды описан шар. Найдите его объем, если высота пирамиды равна 5,76 см, а боковое ребро – 7,2 см.

Обозначим высоту правильной треугольной пирамиды как $h$, а боковое ребро как $l$. По условию задачи, $h = 5,76$ см и $l = 7,2$ см.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус описанного шара $R$ можно найти по формуле, которая связывает его с высотой пирамиды и ее боковым ребром. Для вывода этой формулы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SH$ и боковое ребро $SA$.

Пусть $O$ - центр описанного шара, который лежит на высоте $SH$. Тогда $OA=OS=R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$, где $H$ - центр основания пирамиды. По теореме Пифагора, $OA^2 = OH^2 + AH^2$. Так как $OH = |SH - OS| = |h - R|$, а из другого прямоугольного треугольника $SHA$ мы знаем, что $AH^2 = SA^2 - SH^2 = l^2 - h^2$, мы можем составить уравнение:

$R^2 = (h-R)^2 + (l^2 - h^2)$

$R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + l^2 - h^2$

$0 = -2hR + l^2$

$2hR = l^2$

Отсюда формула для радиуса: $R = \frac{l^2}{2h}$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти радиус шара:

$R = \frac{(7,2)^2}{2 \cdot 5,76} = \frac{51,84}{11,52} = 4,5$ см.

Теперь, зная радиус, можем найти объем шара $V$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставляем значение $R=4,5$ см:

$V = \frac{4}{3}\pi (4,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 91,125 = 4\pi \cdot 30,375 = 121,5\pi$ см$^3$.

Ответ: $121,5\pi$ см$^3$.