Номер 565, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

565. Из куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 9 см, вырезана треугольная пирамида $C_1ABD$. Найдите объем этой пирамиды.

Для решения задачи найдем объем пирамиды $C_1A_1BD$, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" пирамид.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию $a = 9$ см.Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле:$V_{куба} = a^3 = 9^3 = 729 \text{ см}^3$.

Пирамида $C_1A_1BD$ образуется внутри куба. Оставшиеся части куба — это четыре одинаковые треугольные пирамиды по углам куба. Вершинами этих пирамид являются те вершины куба, которые не являются вершинами пирамиды $C_1A_1BD$. Это вершины $A, C, B_1, D_1$.Рассмотрим одну из таких пирамид, например, пирамиду с вершиной в точке $A$. Ее основанием будет треугольник $A_1BD$, но удобнее рассмотреть эту же пирамиду (тетраэдр $AA_1BD$) с вершиной в точке $A_1$ и основанием $ABD$.

Основание $ABD$ представляет собой прямоугольный треугольник, так как он является половиной квадрата $ABCD$. Катеты этого треугольника равны ребру куба: $AB = AD = a = 9$ см.Площадь основания этой пирамиды:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 9^2 = \frac{81}{2} \text{ см}^2$.

Высотой этой пирамиды является ребро $AA_1$, перпендикулярное основанию $ABCD$. Таким образом, высота $h = AA_1 = a = 9$ см.Объем одной угловой пирамиды:$V_{угл} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a^2) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.$V_{угл} = \frac{1}{6} \cdot 9^3 = \frac{729}{6} = 121,5 \text{ см}^3$.

Все четыре угловые пирамиды ($A_1-ABD$, $C_1-BCD$, $B-A_1B_1C_1$ и $D-A_1C_1D_1$) конгруэнтны, и их объемы равны. Суммарный объем четырех угловых пирамид:$V_{4угл} = 4 \cdot V_{угл} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.$V_{4угл} = 4 \cdot 121,5 = 486 \text{ см}^3$.

Объем искомой пирамиды $C_1A_1BD$ равен разности объема куба и суммарного объема четырех угловых пирамид:$V_{пир} = V_{куба} - V_{4угл} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.Подставим значение $a=9$ см:$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 9^3 = \frac{1}{3} \cdot 729 = 243 \text{ см}^3$.

Ответ: $243 \text{ см}^3$.