Номер 563, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

563. Основанием призмы является правильный шестиугольник, сторона которого равна $a$. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости ее основания под углом $a$, а его ортогональная проекция на плоскость основания равна радиусу окружности, описанной около основания призмы. Найдите объем призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Его площадь равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания призмы:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его ортогональной проекцией на плоскость основания и высотой призмы. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$ (угол наклона бокового ребра к плоскости основания), а ортогональная проекция бокового ребра $L_{пр}$ — прилежащим катетом. Таким образом, они связаны соотношением: $\tan(\alpha) = \frac{H}{L_{пр}}$, откуда $H = L_{пр} \cdot \tan(\alpha)$.

По условию, длина ортогональной проекции $L_{пр}$ равна радиусу $R$ окружности, описанной около основания. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a$.

Следовательно, $L_{пр} = a$, и высота призмы равна $H = a \cdot \tan(\alpha)$.

3. Найдем объем призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a \tan(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3\tan(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3\tan(\alpha)$.