Номер 560, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

560. В конус, образующая которого в 3 раза больше радиуса его основания, помещены два шара, один из которых вписан в конус, а второй касается первого и боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов первого и второго шаров.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и шаров. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечения шаров — круги. Первый круг вписан в этот треугольник, а второй круг касается первого круга и боковых сторон треугольника.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $L$ — его образующая, $H$ — высота.По условию, $L = 3R$.

В осевом сечении мы имеем равнобедренный треугольник $SAB$ с основанием $AB = 2R$ и боковыми сторонами $SA = SB = L = 3R$. Высота этого треугольника $SO = H$.Из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора найдем высоту конуса:$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(3R)^2 - R^2} = \sqrt{9R^2 - R^2} = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Пусть $\alpha$ — половина угла при вершине $S$ осевого сечения ($\angle ASO$). В прямоугольном треугольнике $SOA$:$\sin(\alpha) = \frac{AO}{SA} = \frac{R}{L} = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}$.

Нахождение радиусов шаров

Пусть $r_1$ — радиус первого (вписанного) шара, а $r_2$ — радиус второго шара. Центры обоих шаров ($O_1$ и $O_2$) лежат на высоте конуса $SO$.

Для первого шара, который вписан в конус, его центр $O_1$ находится на расстоянии $r_1$ от основания конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной конуса $S$, центром первого шара $O_1$ и точкой касания шара с образующей. Гипотенуза этого треугольника — отрезок $SO_1$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $r_1$. Длина гипотенузы $SO_1 = H - r_1 = 2\sqrt{2}R - r_1$.

Тогда $\sin(\alpha) = \frac{r_1}{SO_1} = \frac{r_1}{H - r_1}$.Подставим известные значения:$\frac{1}{3} = \frac{r_1}{2\sqrt{2}R - r_1}$$2\sqrt{2}R - r_1 = 3r_1$$4r_1 = 2\sqrt{2}R$$r_1 = \frac{2\sqrt{2}R}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}R$.

Теперь найдем соотношение между радиусами $r_1$ и $r_2$. Второй шар касается первого и боковой поверхности конуса. Его центр $O_2$ лежит на оси конуса между вершиной $S$ и центром $O_1$.Расстояние от вершины $S$ до центра первого шара $O_1$ равно $SO_1 = \frac{r_1}{\sin(\alpha)}$.Расстояние от вершины $S$ до центра второго шара $O_2$ равно $SO_2 = \frac{r_2}{\sin(\alpha)}$.

Расстояние между центрами касающихся шаров равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.Также это расстояние можно выразить как разность расстояний от вершины $S$: $O_1O_2 = SO_1 - SO_2$.Приравниваем два выражения для $O_1O_2$:$r_1 + r_2 = SO_1 - SO_2$$r_1 + r_2 = \frac{r_1}{\sin(\alpha)} - \frac{r_2}{\sin(\alpha)}$$r_1 + r_2 = \frac{r_1 - r_2}{\sin(\alpha)}$$(r_1 + r_2)\sin(\alpha) = r_1 - r_2$$r_1\sin(\alpha) + r_2\sin(\alpha) = r_1 - r_2$$r_2\sin(\alpha) + r_2 = r_1 - r_1\sin(\alpha)$$r_2(1 + \sin(\alpha)) = r_1(1 - \sin(\alpha))$

Отсюда находим отношение радиусов:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$Подставляем значение $\sin(\alpha) = 1/3$:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = \frac{4/3}{2/3} = 2$.

Нахождение отношения объемов шаров

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.Отношение объемов первого и второго шаров:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.

Подставляем найденное отношение радиусов:$\frac{V_1}{V_2} = (2)^3 = 8$.

Ответ: 8.