Страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

557. Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Сравните объем полученного шарового слоя с суммой объемов двух шаровых сегментов.

Пусть радиус шара равен $R$, тогда его диаметр $D=2R$.

По условию задачи, диаметр разделен на три равные части. Длина каждой части равна $\frac{2R}{3}$. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара два одинаковых шаровых сегмента и образуют центральный шаровой слой.

Высота каждого из двух шаровых сегментов равна длине одной из трех частей диаметра, то есть $h = \frac{2R}{3}$.

Объем шарового сегмента находится по формуле: $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Подставим в эту формулу значение высоты $h = \frac{2R}{3}$:

$V_{сег} = \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 \left(R - \frac{1}{3} \cdot \frac{2R}{3}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \left(R - \frac{2R}{9}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \left(\frac{9R - 2R}{9}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{7R}{9} = \frac{28\pi R^3}{81}$.

Так как у нас два идентичных шаровых сегмента, их суммарный объем $V_{2сег}$ равен:

$V_{2сег} = 2 \cdot V_{сег} = 2 \cdot \frac{28\pi R^3}{81} = \frac{56\pi R^3}{81}$.

Теперь вычислим объем центрального шарового слоя $V_{слоя}$. Его можно найти, вычтя из полного объема шара объемы двух найденных сегментов.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V_{слоя} = V_{шара} - V_{2сег} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81}$.

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю 81:

$V_{слоя} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 27}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{108\pi R^3}{81} - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{(108 - 56)\pi R^3}{81} = \frac{52\pi R^3}{81}$.

Осталось сравнить объем шарового слоя с суммой объемов двух шаровых сегментов:

$V_{слоя} = \frac{52\pi R^3}{81}$

$V_{2сег} = \frac{56\pi R^3}{81}$

Поскольку $52 < 56$, то $\frac{52\pi R^3}{81} < \frac{56\pi R^3}{81}$, следовательно, $V_{слоя} < V_{2сег}$.

Ответ: Объем полученного шарового слоя меньше суммы объемов двух шаровых сегментов.

уровень С

558. Основанием прямой призмы, вписанной в шар, является треугольник, две стороны которого равны 4 дм и 14 дм, а угол между ними равен $60^\circ$. Объем призмы равен $168 \text{ дм}^3$. Найдите площадь поверхности шара.

Для решения задачи найдем радиус шара $R$, в который вписана призма. Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

1. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Основанием является треугольник с двумя сторонами $a = 4$ дм и $b = 14$ дм и углом между ними $\gamma = 60^{\circ}$. Площадь треугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 14 \cdot \sin(60^{\circ}) = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$ дм².

2. Зная объем призмы $V = 168$ дм³ и площадь ее основания, найдем высоту призмы $H$. Объем прямой призмы равен $V = S_{осн} \cdot H$.$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{168}{14\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ дм.

3. Для нахождения радиуса шара $R$ нам понадобится радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания призмы. Найдем сначала третью сторону треугольника $c$ по теореме косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma = 4^2 + 14^2 - 2 \cdot 4 \cdot 14 \cdot \cos(60^{\circ}) = 16 + 196 - 112 \cdot \frac{1}{2} = 212 - 56 = 156$.$c = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$ дм.
Теперь по следствию из теоремы синусов найдем радиус описанной окружности:$R_{осн} = \frac{c}{2\sin\gamma} = \frac{2\sqrt{39}}{2\sin(60^{\circ})} = \frac{2\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}$ дм.

4. Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, высота призмы $H$ и радиус описанной около основания окружности $R_{осн}$ связаны соотношением (по теореме Пифагора): $R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$.Подставим найденные значения:$R^2 = (2\sqrt{13})^2 + (\frac{4\sqrt{3}}{2})^2 = (4 \cdot 13) + (2\sqrt{3})^2 = 52 + 12 = 64$.

5. Наконец, вычисляем искомую площадь поверхности шара:$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 64 = 256\pi$ дм².
Ответ: $256\pi$ дм².

559. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, площадь диагонального сечения которой $3\sqrt{3}$ дм$^{2}$. Найдите объем шара, если боковое ребро пирамиды равно диагонали ее основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар. Обозначим диагональ ее основания как $d$, боковое ребро как $L$ и высоту как $H$.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания пирамиды $d$, а боковыми сторонами — два боковых ребра $L$.

Согласно условию задачи, боковое ребро пирамиды равно диагонали ее основания, то есть $L = d$. Это означает, что диагональное сечение является равносторонним треугольником со стороной, равной $d$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае стороной является диагональ $d$, а площадь сечения по условию равна $3\sqrt{3}$ дм². Составим уравнение:

$\frac{d^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\frac{d^2}{4} = 3$

Отсюда находим квадрат диагонали:

$d^2 = 12$

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ дм.

Так как пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности шара. Вершины диагонального сечения (вершина пирамиды и две противоположные вершины основания) также лежат на поверхности шара. Следовательно, окружность, описанная вокруг этого равностороннего треугольника (диагонального сечения), является большим кругом шара, и ее радиус $R$ будет равен радиусу шара.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, находится по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $s = d = 2\sqrt{3}$ дм. Найдем радиус шара:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ дм.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное значение радиуса:

$V = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$ дм³.

Ответ: $\frac{32\pi}{3}$ дм³.

560. В конус, образующая которого в 3 раза больше радиуса его основания, помещены два шара, один из которых вписан в конус, а второй касается первого и боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов первого и второго шаров.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и шаров. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечения шаров — круги. Первый круг вписан в этот треугольник, а второй круг касается первого круга и боковых сторон треугольника.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $L$ — его образующая, $H$ — высота.По условию, $L = 3R$.

В осевом сечении мы имеем равнобедренный треугольник $SAB$ с основанием $AB = 2R$ и боковыми сторонами $SA = SB = L = 3R$. Высота этого треугольника $SO = H$.Из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора найдем высоту конуса:$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(3R)^2 - R^2} = \sqrt{9R^2 - R^2} = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Пусть $\alpha$ — половина угла при вершине $S$ осевого сечения ($\angle ASO$). В прямоугольном треугольнике $SOA$:$\sin(\alpha) = \frac{AO}{SA} = \frac{R}{L} = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}$.

Нахождение радиусов шаров

Пусть $r_1$ — радиус первого (вписанного) шара, а $r_2$ — радиус второго шара. Центры обоих шаров ($O_1$ и $O_2$) лежат на высоте конуса $SO$.

Для первого шара, который вписан в конус, его центр $O_1$ находится на расстоянии $r_1$ от основания конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной конуса $S$, центром первого шара $O_1$ и точкой касания шара с образующей. Гипотенуза этого треугольника — отрезок $SO_1$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $r_1$. Длина гипотенузы $SO_1 = H - r_1 = 2\sqrt{2}R - r_1$.

Тогда $\sin(\alpha) = \frac{r_1}{SO_1} = \frac{r_1}{H - r_1}$.Подставим известные значения:$\frac{1}{3} = \frac{r_1}{2\sqrt{2}R - r_1}$$2\sqrt{2}R - r_1 = 3r_1$$4r_1 = 2\sqrt{2}R$$r_1 = \frac{2\sqrt{2}R}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}R$.

Теперь найдем соотношение между радиусами $r_1$ и $r_2$. Второй шар касается первого и боковой поверхности конуса. Его центр $O_2$ лежит на оси конуса между вершиной $S$ и центром $O_1$.Расстояние от вершины $S$ до центра первого шара $O_1$ равно $SO_1 = \frac{r_1}{\sin(\alpha)}$.Расстояние от вершины $S$ до центра второго шара $O_2$ равно $SO_2 = \frac{r_2}{\sin(\alpha)}$.

Расстояние между центрами касающихся шаров равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.Также это расстояние можно выразить как разность расстояний от вершины $S$: $O_1O_2 = SO_1 - SO_2$.Приравниваем два выражения для $O_1O_2$:$r_1 + r_2 = SO_1 - SO_2$$r_1 + r_2 = \frac{r_1}{\sin(\alpha)} - \frac{r_2}{\sin(\alpha)}$$r_1 + r_2 = \frac{r_1 - r_2}{\sin(\alpha)}$$(r_1 + r_2)\sin(\alpha) = r_1 - r_2$$r_1\sin(\alpha) + r_2\sin(\alpha) = r_1 - r_2$$r_2\sin(\alpha) + r_2 = r_1 - r_1\sin(\alpha)$$r_2(1 + \sin(\alpha)) = r_1(1 - \sin(\alpha))$

Отсюда находим отношение радиусов:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$Подставляем значение $\sin(\alpha) = 1/3$:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = \frac{4/3}{2/3} = 2$.

Нахождение отношения объемов шаров

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.Отношение объемов первого и второго шаров:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.

Подставляем найденное отношение радиусов:$\frac{V_1}{V_2} = (2)^3 = 8$.

Ответ: 8.