Страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ.

1. По какой формуле можно найти объем шара? Объясните, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара.

Объем шара можно найти по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара: $V = \frac{1}{3} A R$.

2. Запишите формулы объемов шаровых сегмента и сектора и проиллюстрируйте их, используя чертежи.

Формула объема шарового сегмента: $V_{сегмента} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$.

Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.

1. По какой формуле можно найти объем шара? Объясните, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара.

Объем шара радиусом $R$ можно найти по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Чтобы объяснить, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус, представим шар как совокупность большого числа очень маленьких пирамид. Вершины всех этих пирамид находятся в центре шара, а их основания представляют собой небольшие участки на поверхности шара.

Высота каждой такой пирамиды равна радиусу шара $R$. Объем одной маленькой пирамиды равен $dV = \frac{1}{3} dS \cdot R$, где $dS$ — это площадь ее основания (участок на поверхности шара).

Чтобы найти общий объем шара, нужно сложить объемы всех этих маленьких пирамид. Сумма площадей оснований всех пирамид $dS$ будет равна общей площади поверхности шара $S$.

$V = \sum dV = \sum \frac{1}{3} dS \cdot R = \frac{1}{3} R \sum dS = \frac{1}{3} R \cdot S$

Таким образом, мы получаем формулу, связывающую объем шара с площадью его поверхности: $V = \frac{1}{3} S \cdot R$.

Мы можем проверить это утверждение, подставив известную формулу площади поверхности шара $S = 4\pi R^2$:

$V = \frac{1}{3} (4\pi R^2) \cdot R = \frac{4}{3}\pi R^3$

Это полностью совпадает с основной формулой объема шара, что и доказывает утверждение.

Ответ: Объем шара находится по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности $S$ на радиус $R$ ($V = \frac{1}{3} S \cdot R$), потому что шар можно представить как сумму бесконечного числа пирамид с вершиной в центре шара и высотой, равной радиусу.

2. Запишите формулы объемов шаровых сегмента и сектора и проиллюстрируйте их, используя чертежи.

Шаровой сегмент — это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Шаровой сектор — это тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из его радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

$V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.

Ответ: Формула объема шарового сегмента: $V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$. Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.

уровень А

541. Во сколько раз увеличится объем шара, если его диаметр увеличить в 2 раза?

Дано:
пусть начальный диаметр шара равен $D_1$, а начальный радиус равен $R_1$.
по условию, новый диаметр $D_2$ увеличивается в 2 раза относительно начального: $D_2 = 2D_1$.
поскольку $D = 2R$, то $D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$.
из соотношения диаметров следует, что $2R_2 = 2(2R_1)$, откуда $R_2 = 2R_1$.

Найти:
во сколько раз увеличится объем шара, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$, где $V_1$ - начальный объем, а $V_2$ - новый объем.

Решение:
формула для объема шара выражается как $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ - радиус шара.

начальный объем шара $V_1$ с радиусом $R_1$ равен: $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$.

новый объем шара $V_2$ с радиусом $R_2 = 2R_1$ равен: $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.

подставим $R_2 = 2R_1$ в формулу для $V_2$: $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2R_1)^3$.

вычислим $(2R_1)^3$: $(2R_1)^3 = 2^3 \cdot R_1^3 = 8 R_1^3$.

таким образом, новый объем $V_2$ будет: $V_2 = \frac{4}{3} \pi (8 R_1^3) = 8 \left(\frac{4}{3} \pi R_1^3\right)$.

заметим, что выражение в скобках $\left(\frac{4}{3} \pi R_1^3\right)$ является начальным объемом $V_1$.
следовательно, $V_2 = 8 V_1$.

чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, мы должны разделить новый объем на начальный: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{8 V_1}{V_1} = 8$.

Ответ:
объем шара увеличится в 8 раз.

542. Два шара радиусами 2 см и 3 см переплавили в один шар. Найдите его радиус.

Дано

Радиус первого шара: $r_1 = 2$ см

Радиус второго шара: $r_2 = 3$ см

Перевод в СИ

$r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$r_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Радиус нового шара: $R$

Решение

Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Объем первого шара: $V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3$.

Объем второго шара: $V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3$.

При переплавке двух шаров в один, суммарный объем материала сохраняется. Пусть $V_{новый}$ - объем нового шара, а $R$ - его радиус.

Тогда $V_{новый} = V_1 + V_2$.

Подставляем формулы объемов:

$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3$

Разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3} \pi$:

$R^3 = r_1^3 + r_2^3$

Подставим числовые значения радиусов:

$R^3 = (2 \text{ см})^3 + (3 \text{ см})^3$

$R^3 = 8 \text{ см}^3 + 27 \text{ см}^3$

$R^3 = 35 \text{ см}^3$

Чтобы найти $R$, извлечем кубический корень из 35:

$R = \sqrt[3]{35} \text{ см}$

Ответ:

Радиус нового шара $R = \sqrt[3]{35} \text{ см}$.

543. Найдите объем шара, если площадь его поверхности равна $9\pi$ $\text{дм}^2$.

Дано:

$S = 9\pi \text{ дм}^2$

Перевод в СИ:

$S = 9\pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 9\pi \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.09\pi \text{ м}^2$

Найти:

$V$

Решение:

Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.

Подставим известное значение площади поверхности в эту формулу:

$9\pi = 4\pi R^2$

Для того чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$R^2 = \frac{9\pi}{4\pi}$

$R^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус не может быть отрицательным, берем только положительное значение:

$R = \sqrt{\frac{9}{4}}$

$R = \frac{3}{2} \text{ дм}$

Теперь, когда известен радиус шара, используем формулу для объема шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное значение радиуса $R = \frac{3}{2} \text{ дм}$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3$

Возведем дробь в куб:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3^3}{2^3}\right)$

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{27}{8}\right)$

Перемножим дроби:

$V = \pi \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 8}$

$V = \pi \frac{108}{24}$

Сократим дробь $\frac{108}{24}$ (оба числа делятся на 12: $108 \div 12 = 9$, $24 \div 12 = 2$):

$V = \frac{9}{2}\pi \text{ дм}^3$

Или в десятичной форме:

$V = 4.5\pi \text{ дм}^3$

Ответ:

$4.5\pi \text{ дм}^3$

544. a) Площадь сечения шара плоскостью в 9 раз меньше площади поверхности шара. Найдите объем шара, если радиус сечения равен 2 см.

б) Найдите объем шара, площадь большого круга которого равна $ \frac{9\pi}{16} $ см².

a)

Дано:

$S_{сеч}$ - площадь сечения шара.

$S_{пов}$ - площадь поверхности шара.

$S_{сеч} = \frac{1}{9} S_{пов}$

$r_{сеч} = 2 \, \text{см}$

Перевод в СИ:

$r_{сеч} = 2 \, \text{см} = 0.02 \, \text{м}$

Найти:

$V_{шара}$ - объем шара.

Решение:

Площадь сечения шара, которое является кругом, определяется по формуле $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$.

Подставим известное значение радиуса сечения:

$S_{сеч} = \pi (2 \, \text{см})^2 = 4\pi \, \text{см}^2$.

Площадь поверхности шара $S_{пов}$ связана с площадью сечения соотношением $S_{пов} = 9 S_{сеч}$.

$S_{пов} = 9 \cdot 4\pi = 36\pi \, \text{см}^2$.

Площадь поверхности шара также выражается формулой $S_{пов} = 4\pi R^2$, где $R$ - радиус шара.

Приравняем две формулы для площади поверхности, чтобы найти радиус шара:

$4\pi R^2 = 36\pi$

$R^2 = \frac{36\pi}{4\pi} = 9$

$R = \sqrt{9} = 3 \, \text{см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (3 \, \text{см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \, \text{см}^3 = 4\pi \cdot 9 \, \text{см}^3 = 36\pi \, \text{см}^3$.

Ответ: $36\pi \, \text{см}^3$

б)

Дано:

$S_{б.кр.}$ - площадь большого круга шара.

$S_{б.кр.} = \frac{9\pi}{16} \, \text{см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{б.кр.} = \frac{9\pi}{16} \, \text{см}^2 = \frac{9\pi}{16} \cdot (10^{-2})^2 \, \text{м}^2 = \frac{9\pi}{16} \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$.

Найти:

$V_{шара}$ - объем шара.

Решение:

Площадь большого круга шара определяется по формуле $S_{б.кр.} = \pi R^2$, где $R$ - радиус шара.

Подставим известное значение площади большого круга, чтобы найти радиус шара:

$\pi R^2 = \frac{9\pi}{16}$

$R^2 = \frac{9\pi}{16\pi} = \frac{9}{16}$

$R = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \, \text{см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{4} \, \text{см}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3^3}{4^3} \, \text{см}^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64} \, \text{см}^3$.

Произведем сокращение:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 64}\pi \, \text{см}^3 = \frac{108}{192}\pi \, \text{см}^3$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на 12:

$V_{шара} = \frac{9}{16}\pi \, \text{см}^3$.

Ответ: $\frac{9\pi}{16} \, \text{см}^3$

545. Сектор $AOB$, угол которого равен $90^\circ$, вращается вокруг радиуса $OA$. Найдите объем тела вращения, если радиус сектора равен $\frac{3}{4}$ дм.

При вращении сектора $AOB$, который является четвертью круга (поскольку его угол равен $90^{\circ}$), вокруг одного из его радиусов (например, $OA$), образуется тело вращения, представляющее собой полушар.

Радиус этого полушара $R$ совпадает с радиусом сектора. По условию задачи дано, что радиус сектора равен $\frac{3}{4}$ дм. Таким образом, $R = \frac{3}{4}$ дм.

Объем полного шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем полушара составляет половину объема полного шара, следовательно, его формула:

$V = \frac{1}{2} V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

Подставим известное значение радиуса $R = \frac{3}{4}$ дм в формулу для объема полушара:

$V = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{3}{4}\right)^3$

Выполним вычисления:

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3^3}{4^3} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{27}{64}$

Сократим полученное выражение:

$V = \frac{2 \cdot 27}{3 \cdot 64}\pi = \frac{54}{192}\pi = \frac{9}{32}\pi$

Объем тела вращения равен $\frac{9}{32}\pi$ дм³.

Ответ: $\frac{9}{32}\pi$ дм³.

546. Радиусы четырех шаров образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 12, а ее разность равна 4. Сравните наибольший из объемов этих шаров с суммой объемов остальных.

Пусть радиусы четырех шаров $r_1, r_2, r_3, r_4$ образуют арифметическую прогрессию. По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = r_1 = 12$, а ее разность $d = 4$. Найдем радиусы всех четырех шаров, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$r_1 = 12$
$r_2 = 12 + 1 \cdot 4 = 16$
$r_3 = 12 + 2 \cdot 4 = 20$
$r_4 = 12 + 3 \cdot 4 = 24$
Наибольшим является шар с радиусом $r_4 = 24$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Нам нужно сравнить объем наибольшего шара $V_4$ с суммой объемов остальных трех шаров $V_1 + V_2 + V_3$.
Объем наибольшего шара: $V_4 = \frac{4}{3}\pi r_4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 24^3$.
Сумма объемов остальных шаров: $V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi (12^3 + 16^3 + 20^3)$.
Для сравнения объемов достаточно сравнить величины $24^3$ и $12^3 + 16^3 + 20^3$, так как общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ можно сократить.

Выполним вычисления. Заметим, что все радиусы кратны 4:
$12 = 3 \cdot 4$, $16 = 4 \cdot 4$, $20 = 5 \cdot 4$, $24 = 6 \cdot 4$.
Это позволяет упростить сравнение кубов:
Сравниваем $24^3$ и $12^3 + 16^3 + 20^3$.
Сравниваем $(6 \cdot 4)^3$ и $(3 \cdot 4)^3 + (4 \cdot 4)^3 + (5 \cdot 4)^3$.
Сравниваем $6^3 \cdot 4^3$ и $3^3 \cdot 4^3 + 4^3 \cdot 4^3 + 5^3 \cdot 4^3$.
Вынесем общий множитель $4^3$ в правой части: $6^3 \cdot 4^3$ и $4^3(3^3 + 4^3 + 5^3)$.
Сократим обе части на $4^3$, тогда нужно сравнить $6^3$ и $3^3 + 4^3 + 5^3$.
Вычислим значения:
$6^3 = 216$.
$3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
Так как $6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$, то и $24^3 = 12^3 + 16^3 + 20^3$. Следовательно, $V_4 = V_1 + V_2 + V_3$.

Ответ: Объем наибольшего шара равен сумме объемов остальных трех шаров.

547. Найдите объем шара, площадь поверхности которого увеличивается на $20\pi \text{ дм}^2$ при увеличении его радиуса на 1 дм.

Пусть первоначальный радиус шара равен $R$ дм. Тогда площадь его поверхности $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = 4\pi R^2$.

При увеличении радиуса на 1 дм, новый радиус станет $R+1$ дм, а новая площадь поверхности $S_2$ будет равна $S_2 = 4\pi (R+1)^2$.

По условию задачи, площадь поверхности увеличивается на $20\pi \text{ дм}^2$, что можно записать в виде уравнения:

$S_2 - S_1 = 20\pi$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в уравнение:

$4\pi (R+1)^2 - 4\pi R^2 = 20\pi$

Разделим обе части уравнения на $4\pi$, чтобы упростить его:

$(R+1)^2 - R^2 = 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$R^2 + 2R + 1 - R^2 = 5$

Сократим $R^2$ и $-R^2$:

$2R + 1 = 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $R$:

$2R = 5 - 1$

$2R = 4$

$R = 2$ дм

Мы нашли первоначальный радиус шара. Теперь найдем его объем $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \text{ дм}^3$

Ответ: $\frac{32}{3}\pi \text{ дм}^3$.