Страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

537. Найдите объем конуса, площадь поверхности которого равна $96\pi \text{ дм}^2$, а радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен 3 дм.

Дано:

$S_p = 96\pi \text{ дм}^2$ (площадь полной поверхности конуса)

$r_{вп} = 3 \text{ дм}$ (радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса)

Перевод в СИ:

$S_p = 96\pi \text{ дм}^2 = 96\pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.96\pi \text{ м}^2$

$r_{вп} = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$V$ (объем конуса)

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая конуса.

Формула для площади полной поверхности конуса: $S_p = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R+L)$.

По условию задачи, $S_p = 96\pi \text{ дм}^2$.

Приравняем данные: $\pi R (R+L) = 96\pi$.

Разделив обе части на $\pi$, получим: $R(R+L) = 96$ (Уравнение 1).

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным $2R$, и высотой $H$. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$.

Площадь этого осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как: $S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH$.

Полупериметр этого треугольника $s_{ос}$ вычисляется как: $s_{ос} = \frac{\text{периметр}}{2} = \frac{2R + 2L}{2} = R+L$.

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, может быть найден по формуле: $r = \frac{S}{s}$, где $S$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

Для осевого сечения конуса радиус вписанной окружности $r_{вп}$ будет равен: $r_{вп} = \frac{RH}{R+L}$.

По условию задачи $r_{вп} = 3 \text{ дм}$.

Следовательно, имеем второе уравнение: $\frac{RH}{R+L} = 3$ (Уравнение 2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными ($R, H, L$):

1) $R(R+L) = 96$

2) $\frac{RH}{R+L} = 3$

Из Уравнения 1 выразим сумму $R+L$: $R+L = \frac{96}{R}$.

Подставим это выражение для $(R+L)$ в Уравнение 2:

$\frac{RH}{96/R} = 3$

Упростим левую часть: $\frac{R^2 H}{96} = 3$

Умножим обе части на $96$: $R^2 H = 3 \cdot 96$

$R^2 H = 288$ (Уравнение 3).

Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Мы уже нашли значение произведения $R^2 H$ из Уравнения 3. Подставим его в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi (288)$

$V = 96\pi \text{ дм}^3$.

Для подтверждения существования такого конуса и единственности решения можно также использовать соотношение между $R, H, L$ через теорему Пифагора: $L^2 = R^2 + H^2$. Решение системы уравнений показывает, что существует два набора положительных значений $R$ и $H$, удовлетворяющих условиям: ($R=6 \text{ дм}, H=8 \text{ дм}$) и ($R=2\sqrt{3} \text{ дм}, H=24 \text{ дм}$). Оба этих набора приводят к одному и тому же значению $R^2 H = 288$, что обеспечивает единственность объема конуса.

Ответ:

Объем конуса равен $96\pi \text{ дм}^3$.

538. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $30^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, равным 2 дм и 1 дм. Каждая из этих хорд стягивает дугу $150^\circ$. Найдите объем усеченного конуса.

Дано:

Угол между образующими, через которые проведена плоскость: $\phi_g = 30^\circ$

Длина хорды на большем основании: $c_1 = 2 \text{ дм}$

Длина хорды на меньшем основании: $c_2 = 1 \text{ дм}$

Центральный угол, стягиваемый каждой хордой: $\phi_c = 150^\circ$

Перевод в СИ:

$c_1 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$c_2 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Объем усеченного конуса: $V$

Решение:

1. Найдем радиусы оснований $R_1$ и $R_2$. Хорда $c$ в окружности радиуса $R$ стягивает центральный угол $\phi_c$ по формуле $c = 2R \sin(\frac{\phi_c}{2})$.

Для большего основания:

$c_1 = 2R_1 \sin(\frac{150^\circ}{2}) \Rightarrow 2 = 2R_1 \sin(75^\circ)$

$R_1 = \frac{1}{\sin(75^\circ)}$

Значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$R_1 = \frac{1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \text{ дм}$.

Для меньшего основания:

$c_2 = 2R_2 \sin(\frac{150^\circ}{2}) \Rightarrow 1 = 2R_2 \sin(75^\circ)$

$R_2 = \frac{1}{2\sin(75^\circ)} = \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ дм}$.

2. Найдем длины образующих $L_1$ и $L_2$ полного конуса, из которого образован усеченный. Плоскость, проходящая через две образующие, образует с ними треугольник с вершиной в апексе полного конуса и основанием, равным хорде. Угол при вершине этого треугольника равен $30^\circ$. Таким образом, хорда $c$ связана с длиной образующей $L$ и этим углом $\phi_g$ формулой $c = 2L \sin(\frac{\phi_g}{2})$.

Для большей образующей полного конуса:

$c_1 = 2L_1 \sin(\frac{30^\circ}{2}) \Rightarrow 2 = 2L_1 \sin(15^\circ)$

$L_1 = \frac{1}{\sin(15^\circ)}$

Значение $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$L_1 = \frac{1}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \text{ дм}$.

Для меньшей образующей полного конуса (до меньшего основания):

$c_2 = 2L_2 \sin(\frac{30^\circ}{2}) \Rightarrow 1 = 2L_2 \sin(15^\circ)$

$L_2 = \frac{1}{2\sin(15^\circ)} = \frac{1}{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ дм}$.

3. Найдем синус и косинус половины угла при вершине полного конуса ($\theta$). Для полного конуса с радиусом основания $R$ и образующей $L$ половина угла при вершине $\theta$ связана соотношением $\sin(\theta) = \frac{R}{L}$.

$\sin(\theta) = \frac{R_1}{L_1} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.

Известно, что $2 - \sqrt{3} = \tan(15^\circ)$. Значит, $\sin(\theta) = \tan(15^\circ)$.

Теперь найдем $\cos(\theta)$: $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - (2 - \sqrt{3})^2 = 1 - (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 1 - (7 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6$.

$\cos(\theta) = \sqrt{4\sqrt{3} - 6}$.

4. Найдем высоту $h$ усеченного конуса. Высота полного конуса $H = L_1 \cos(\theta)$, высота отсеченного малого конуса $H_2 = L_2 \cos(\theta)$.

$h = H - H_2 = (L_1 - L_2)\cos(\theta)$.

$L_1 - L_2 = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

$h = \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{4\sqrt{3} - 6}$.

Возведем $h$ в квадрат для упрощения:

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 (4\sqrt{3} - 6) = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{4} (4\sqrt{3} - 6) = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} (4\sqrt{3} - 6) = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3} - 6) = (2 + \sqrt{3})(4\sqrt{3} - 6)$.

$h^2 = 8\sqrt{3} - 12 + 4\sqrt{3}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} - 12 + 12 - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Таким образом, $h = \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}$.

5. Вычислим объем усеченного конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)$.

Вычислим необходимые слагаемые:

$R_1^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}$.

$R_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(8 - 4\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$.

$R_1R_2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(8 - 4\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$.

Сумма площадей оснований и их произведения:

$R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2 = (8 - 4\sqrt{3}) + (4 - 2\sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 14 - 7\sqrt{3} = 7(2 - \sqrt{3})$.

Подставим все значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{2\sqrt{3}} \cdot 7(2 - \sqrt{3})$.

$V = \frac{7\pi}{3} (2 - \sqrt{3}) \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}^3$.

Ответ:

Объем усеченного конуса равен $V = \frac{7\pi}{3} (2 - \sqrt{3}) \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}^3$.

539. Около шара радиуса $R$ описан конус наименьшего объема. Найдите этот объем.

Дано:

Радиус шара: $R$

Найти:

Наименьший объем конуса, описанного около шара.

Решение:

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $H$ — высота конуса.

Объем конуса $V$ выражается формулой:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным шаром. Это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность.

Пусть $A$ — вершина конуса, $O_c$ — центр основания конуса, $P$ — точка на окружности основания. Треугольник $A O_c P$ — прямоугольный с катетами $H$ (высота $A O_c$) и $r$ (радиус основания $O_c P$), и гипотенузой $L = AP = \sqrt{H^2 + r^2}$ (образующая конуса).

Центр шара $O$ лежит на высоте $A O_c$, и $O O_c = R$. Расстояние от вершины конуса до центра шара $A O = H - R$.

Проведем радиус шара $OT$ к образующей $AP$ в точку касания $T$. $OT \perp AP$, и $OT = R$.

Треугольники $A O_c P$ и $A T O$ подобны (по двум углам: $\angle A$ общий, $\angle A O_c P = \angle A T O = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

$\frac{O T}{O_c P} = \frac{A O}{A P}$

Подставим известные значения:

$\frac{R}{r} = \frac{H-R}{\sqrt{H^2 + r^2}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы выразить $r^2$ через $H$ и $R$:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(H-R)^2}{H^2 + r^2}$

$R^2 (H^2 + r^2) = r^2 (H-R)^2$

$R^2 H^2 + R^2 r^2 = r^2 (H^2 - 2HR + R^2)$

$R^2 H^2 + R^2 r^2 = r^2 H^2 - 2HR r^2 + R^2 r^2$

$R^2 H^2 = r^2 H^2 - 2HR r^2$

$R^2 H^2 = r^2 (H^2 - 2HR)$

Выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{R^2 H^2}{H^2 - 2HR}$

Заметим, что для существования конуса, вписанного в шар, $H^2 - 2HR > 0$, что означает $H(H - 2R) > 0$. Поскольку $H > 0$, то $H > 2R$.

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в формулу объема конуса:

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2 H^2}{H^2 - 2HR} \right) H$

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2 H^3}{H^2 - 2HR}$

Вынесем $H$ из знаменателя:

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2 H^3}{H(H - 2R)} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^2}{H - 2R}$

Для нахождения наименьшего объема, найдем производную $V(H)$ по $H$ и приравняем ее к нулю:

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dH} \left( \frac{H^2}{H - 2R} \right)$

Используем правило дифференцирования дроби $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = H^2 \implies u' = 2H$

$v = H - 2R \implies v' = 1$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{2H(H - 2R) - H^2(1)}{(H - 2R)^2}$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{2H^2 - 4HR - H^2}{(H - 2R)^2}$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{H^2 - 4HR}{(H - 2R)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{H^2 - 4HR}{(H - 2R)^2} = 0$

Так как $\frac{\pi R^2}{3} \ne 0$ и $(H - 2R)^2 \ne 0$ (поскольку $H > 2R$), то:

$H^2 - 4HR = 0$

$H(H - 4R) = 0$

Поскольку $H > 2R$, то $H \ne 0$. Следовательно:

$H - 4R = 0 \implies H = 4R$

Для проверки, что это минимум, рассмотрим знак $V'(H)$: при $2R < H < 4R$, $H - 4R < 0$, значит $V'(H) < 0$ (функция убывает); при $H > 4R$, $H - 4R > 0$, значит $V'(H) > 0$ (функция возрастает). Таким образом, $H = 4R$ является точкой минимума.

Подставим $H = 4R$ в формулу объема конуса:

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{(4R)^2}{4R - 2R}$

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{16R^2}{2R}$

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} (8R)$

$V_{min} = \frac{8}{3}\pi R^3$

Ответ:

Наименьший объем конуса равен $\frac{8}{3}\pi R^3$.

540. Бревно длиной 2 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 дм и 1 дм. Из бревна изготовлен брус наибольшего объема с квадратным поперечным сечением. Найдите высоту этого бруса.

Дано:

Высота бревна (усеченного конуса) $H = 2$ м

Диаметр большего основания $D_1 = 2$ дм

Диаметр меньшего основания $D_2 = 1$ дм

Перевод в СИ:

$H = 2$ м

$D_1 = 2 \text{ дм} = 0.2$ м

$D_2 = 1 \text{ дм} = 0.1$ м

Найти:

Высота бруса $h_{бруса}$

Решение:

Бревно имеет форму усеченного конуса, его длина (высота) составляет $H = 2$ м. Из этого бревна изготавливается брус наибольшего объема с квадратным поперечным сечением.

Для того чтобы объем бруса был наибольшим, необходимо выполнить два условия:

1. Поперечное сечение бруса в любой точке его длины должно быть максимально возможным. Поскольку брус имеет квадратное поперечное сечение и вырезается из круглого бревна, то наибольший квадрат, который можно вписать в круг диаметром $d$, будет иметь сторону $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

2. Брус должен использовать всю доступную длину бревна. Если бы высота бруса была меньше длины бревна, то его объем был бы меньше, так как часть материала, которая могла бы быть использована, была бы отброшена. Для достижения максимального объема, брус должен простираться на всю длину исходного бревна.

Таким образом, высота бруса наибольшего объема, изготовленного из данного бревна, будет равна длине (высоте) самого бревна.

Высота бревна (длина) задана в условии задачи и составляет $2$ м.

Ответ:

Высота этого бруса равна $2$ м.