Номер 537, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

537. Найдите объем конуса, площадь поверхности которого равна $96\pi \text{ дм}^2$, а радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен 3 дм.

Дано:

$S_p = 96\pi \text{ дм}^2$ (площадь полной поверхности конуса)

$r_{вп} = 3 \text{ дм}$ (радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса)

Перевод в СИ:

$S_p = 96\pi \text{ дм}^2 = 96\pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.96\pi \text{ м}^2$

$r_{вп} = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$V$ (объем конуса)

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая конуса.

Формула для площади полной поверхности конуса: $S_p = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R+L)$.

По условию задачи, $S_p = 96\pi \text{ дм}^2$.

Приравняем данные: $\pi R (R+L) = 96\pi$.

Разделив обе части на $\pi$, получим: $R(R+L) = 96$ (Уравнение 1).

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным $2R$, и высотой $H$. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$.

Площадь этого осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как: $S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH$.

Полупериметр этого треугольника $s_{ос}$ вычисляется как: $s_{ос} = \frac{\text{периметр}}{2} = \frac{2R + 2L}{2} = R+L$.

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, может быть найден по формуле: $r = \frac{S}{s}$, где $S$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

Для осевого сечения конуса радиус вписанной окружности $r_{вп}$ будет равен: $r_{вп} = \frac{RH}{R+L}$.

По условию задачи $r_{вп} = 3 \text{ дм}$.

Следовательно, имеем второе уравнение: $\frac{RH}{R+L} = 3$ (Уравнение 2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными ($R, H, L$):

1) $R(R+L) = 96$

2) $\frac{RH}{R+L} = 3$

Из Уравнения 1 выразим сумму $R+L$: $R+L = \frac{96}{R}$.

Подставим это выражение для $(R+L)$ в Уравнение 2:

$\frac{RH}{96/R} = 3$

Упростим левую часть: $\frac{R^2 H}{96} = 3$

Умножим обе части на $96$: $R^2 H = 3 \cdot 96$

$R^2 H = 288$ (Уравнение 3).

Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Мы уже нашли значение произведения $R^2 H$ из Уравнения 3. Подставим его в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi (288)$

$V = 96\pi \text{ дм}^3$.

Для подтверждения существования такого конуса и единственности решения можно также использовать соотношение между $R, H, L$ через теорему Пифагора: $L^2 = R^2 + H^2$. Решение системы уравнений показывает, что существует два набора положительных значений $R$ и $H$, удовлетворяющих условиям: ($R=6 \text{ дм}, H=8 \text{ дм}$) и ($R=2\sqrt{3} \text{ дм}, H=24 \text{ дм}$). Оба этих набора приводят к одному и тому же значению $R^2 H = 288$, что обеспечивает единственность объема конуса.

Ответ:

Объем конуса равен $96\pi \text{ дм}^3$.