Номер 532, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

532. Найдите отношение объемов равносторонних конуса и цилиндра, площади поверхностей которых равны.

Дано:

Равносторонний конус и равносторонний цилиндр.

Площади поверхностей конуса и цилиндра равны: $S_c = S_k$.

Найти:

Отношение объемов конуса и цилиндра: $V_c / V_k$.

Решение:

1. Определим параметры равностороннего конуса. Пусть $r_c$ – радиус основания конуса, $h_c$ – его высота, $l_c$ – образующая. По определению равностороннего конуса, образующая равна диаметру основания: $l_c = 2r_c$. Высота конуса $h_c$ находится из теоремы Пифагора: $h_c^2 + r_c^2 = l_c^2$ $h_c^2 = (2r_c)^2 - r_c^2 = 4r_c^2 - r_c^2 = 3r_c^2$ $h_c = r_c\sqrt{3}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_c$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_c = \pi r_c^2 + \pi r_c l_c = \pi r_c^2 + \pi r_c(2r_c) = \pi r_c^2 + 2\pi r_c^2 = 3\pi r_c^2$.

Объем конуса $V_c$: $V_c = \frac{1}{3}\pi r_c^2 h_c = \frac{1}{3}\pi r_c^2 (r_c\sqrt{3}) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_c^3$.

2. Определим параметры равностороннего цилиндра. Пусть $r_k$ – радиус основания цилиндра, $h_k$ – его высота. По определению равностороннего цилиндра, высота равна диаметру основания: $h_k = 2r_k$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_k$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_k = 2\pi r_k^2 + 2\pi r_k h_k = 2\pi r_k^2 + 2\pi r_k(2r_k) = 2\pi r_k^2 + 4\pi r_k^2 = 6\pi r_k^2$.

Объем цилиндра $V_k$: $V_k = \pi r_k^2 h_k = \pi r_k^2 (2r_k) = 2\pi r_k^3$.

3. Используем условие равенства площадей поверхностей: $S_c = S_k$. $3\pi r_c^2 = 6\pi r_k^2$. Разделим обе части на $3\pi$: $r_c^2 = 2r_k^2$. Выразим $r_c$ через $r_k$: $r_c = \sqrt{2r_k^2} = r_k\sqrt{2}$.

4. Найдем отношение объемов $V_c / V_k$. Подставим выражение для $r_c$ в формулу для $V_c$: $V_c = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_c^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} (r_k\sqrt{2})^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_k^3 (\sqrt{2})^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_k^3 (2\sqrt{2}) = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} r_k^3$.

Теперь вычислим отношение объемов: $\frac{V_c}{V_k} = \frac{\frac{2\pi\sqrt{6}}{3} r_k^3}{2\pi r_k^3}$. Сокращаем $2\pi r_k^3$: $\frac{V_c}{V_k} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$