Номер 536, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

536. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой 6 см, а угол между соседними боковыми ребрами 45°. Найдите объем конуса.

Дано:

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: $a = 6 \text{ см}$

Угол между соседними боковыми ребрами: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса: $V_{cone}$

Решение:

Поскольку правильная четырехугольная пирамида вписана в конус, это означает, что ее основание (квадрат) вписано в основание конуса (круг), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен половине диагонали основания пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса ($R$).

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a = 6 \text{ см}$.

Диагональ квадрата ($d$) равна $a\sqrt{2}$.

$d = 6\sqrt{2} \text{ см}$

Радиус основания конуса ($R$) равен половине этой диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$

2. Найдем длину бокового ребра пирамиды ($l$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. Пусть $S$ - вершина пирамиды, а $A$ и $B$ - соседние вершины основания. Тогда $SA = SB = l$ (боковые ребра), и $AB = a = 6 \text{ см}$ (сторона основания). Угол между соседними боковыми ребрами $\angle ASB = \alpha = 45^\circ$.

По теореме косинусов для $\triangle SAB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\angle ASB)$

$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(45^\circ)$

$a^2 = 2l^2 (1 - \cos(45^\circ))$

Подставим известные значения ($a=6$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$6^2 = 2l^2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$36 = 2l^2 \left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)$

$36 = l^2 (2 - \sqrt{2})$

Выразим $l^2$:

$l^2 = \frac{36}{2 - \sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$l^2 = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{2}$

$l^2 = 18(2 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

3. Найдем высоту конуса ($H$).

Высота пирамиды ($H$) совпадает с высотой конуса. Высота, боковое ребро ($l$) и радиус описанной окружности основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

$H^2 = l^2 - R^2$

Мы знаем $l^2 = 18(2 + \sqrt{2})$ и $R^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}^2$.

$H^2 = 18(2 + \sqrt{2}) - 18$

$H^2 = 18(2 + \sqrt{2} - 1)$

$H^2 = 18(1 + \sqrt{2})$

$H = \sqrt{18(1 + \sqrt{2})} = \sqrt{9 \cdot 2(1 + \sqrt{2})} = 3\sqrt{2(1 + \sqrt{2})} = 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$

4. Найдем объем конуса ($V_{cone}$).

Формула объема конуса: $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим значения $R^2 = 18 \text{ см}^2$ и $H = 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$:

$V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (18) (3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}})$

$V_{cone} = 6\pi (3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}})$

$V_{cone} = 18\pi \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}^3$

Ответ:

$V_{cone} = 18\pi \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}^3$