Номер 534, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

534. Найдите объем усеченного конуса, если его высота равна:
а) 8 см, образующая 10 см, а площадь боковой поверхности равна $100\pi \text{ см}^2$;
б) 12 см, образующая 13 см, а диагонали осевого сечения перпендикулярны.

а)

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 8$ см

Образующая $L = 10$ см

Площадь боковой поверхности $S_б = 100\pi$ см$^2$

Перевод в СИ:

$H = 8 \cdot 10^{-2}$ м

$L = 10 \cdot 10^{-2}$ м

$S_б = 100\pi \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = \pi \cdot 10^{-2}$ м$^2$

Найти:

Объем усеченного конуса $V$

Решение:

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_б = \pi(R+r)L$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, $L$ – образующая.

Подставим известные значения:

$100\pi = \pi(R+r) \cdot 10$

Разделим обе части на $10\pi$:

$10 = R+r$ (Уравнение 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 8^2 + (R-r)^2$

$100 = 64 + (R-r)^2$

$(R-r)^2 = 100 - 64$

$(R-r)^2 = 36$

$R-r = 6$ (Уравнение 2, так как $R > r$, разность положительна)

Решим систему уравнений:

$R+r = 10$

$R-r = 6$

Сложим уравнения:

$(R+r) + (R-r) = 10 + 6$

$2R = 16$

$R = 8$ см

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R+r) - (R-r) = 10 - 6$

$2r = 4$

$r = 2$ см

Формула объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot (8^2 + 8 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot (64 + 16 + 4)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot 84$

$V = 8\pi \cdot 28$

$V = 224\pi$ см$^3$

Ответ: $224\pi$ см$^3$

б)

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 12$ см

Образующая $L = 13$ см

Диагонали осевого сечения перпендикулярны.

Перевод в СИ:

$H = 12 \cdot 10^{-2}$ м

$L = 13 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Объем усеченного конуса $V$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то её высота равна полусумме длин оснований. В данном случае, основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высота трапеции — это высота конуса $H$.

Таким образом, $H = \frac{2R + 2r}{2} = R+r$.

Подставим известное значение $H$:

$12 = R+r$ (Уравнение 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + (R-r)^2$

$169 = 144 + (R-r)^2$

$(R-r)^2 = 169 - 144$

$(R-r)^2 = 25$

$R-r = 5$ (Уравнение 2, так как $R > r$, разность положительна)

Решим систему уравнений:

$R+r = 12$

$R-r = 5$

Сложим уравнения:

$(R+r) + (R-r) = 12 + 5$

$2R = 17$

$R = 8.5$ см

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R+r) - (R-r) = 12 - 5$

$2r = 7$

$r = 3.5$ см

Формула объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot (8.5^2 + 8.5 \cdot 3.5 + 3.5^2)$

$V = 4\pi \cdot (72.25 + 29.75 + 12.25)$

$V = 4\pi \cdot (114.25)$

$V = 457\pi$ см$^3$

Ответ: $457\pi$ см$^3$