Номер 527, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

527. Равнобедренный треугольник, основание которого 12 см, а угол при вершине $120^\circ$, вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите объем полученного при этом тела вращения.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $b = 12 \text{ см}$.

Угол при вершине $\alpha = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

$\alpha = 120^\circ = \frac{120}{180}\pi \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Когда равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии, образуется конус. Осью симметрии равнобедренного треугольника является его высота, опущенная из вершины на основание. Эта высота становится высотой конуса ($H$). Половина основания треугольника становится радиусом основания конуса ($R$).

1. Определим радиус основания конуса:

$R = \frac{b}{2} = \frac{0.12 \text{ м}}{2} = 0.06 \text{ м}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой треугольника, половиной его основания и одной из боковых сторон. В этом прямоугольном треугольнике:

Катет, равный $R$ (половина основания), является противолежащим катетом для угла при вершине, который равен половине угла при вершине исходного равнобедренного треугольника.

Высота $H$ является прилежащим катетом для этого же угла.

Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

3. Найдем высоту конуса $H$ с помощью тригонометрии, используя тангенс угла:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{R}{H}$

$\tan(60^\circ) = \frac{0.06 \text{ м}}{H}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{0.06 \text{ м}}{H}$

$H = \frac{0.06}{\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{0.06\sqrt{3}}{3} \text{ м} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$.

4. Найдем объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$:

$V = \frac{1}{3} \pi (0.06 \text{ м})^2 (0.02\sqrt{3} \text{ м})$

$V = \frac{1}{3} \pi (0.0036 \text{ м}^2) (0.02\sqrt{3} \text{ м})$

$V = \frac{1}{3} \pi (0.000072\sqrt{3} \text{ м}^3)$

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \text{ м}^3$

Для удобства переведем полученный объем обратно в кубические сантиметры:

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \text{ м}^3 \times (100 \text{ см})^3/\text{м}^3$

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \times 1000000 \text{ см}^3$

$V = 24\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ:

Объем полученного тела вращения составляет $24\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$.