Номер 522, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

522. Стальной вал формы цилиндра с образующей 97 см и диаметром основания 8,4 см обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. Считая $\pi \approx 3,1416$, укажите с точностью до 1 г на сколько граммов уменьшится масса вала в результате обточки. (Плотность стали 7,4 $\text{г/см}^3$.)

Дано:

$L = 97 \text{ см}$ (длина вала)

$D_1 = 8.4 \text{ см}$ (начальный диаметр вала)

$\Delta D = 0.2 \text{ см}$ (уменьшение диаметра)

$\pi \approx 3.1416$

$\rho = 7.4 \text{ г/см}^3$ (плотность стали)

Перевод в СИ:

$L = 97 \text{ см} = 0.97 \text{ м}$

$D_1 = 8.4 \text{ см} = 0.084 \text{ м}$

$\Delta D = 0.2 \text{ см} = 0.002 \text{ м}$

$\rho = 7.4 \text{ г/см}^3 = 7.4 \times 10^3 \text{ кг/м}^3 = 7400 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\Delta m$ (уменьшение массы вала) в граммах.

Решение:

Масса тела определяется по формуле $m = \rho V$, где $\rho$ - плотность, $V$ - объем. Уменьшение массы вала будет равно произведению плотности стали на объем удаленного материала:

$\Delta m = \rho \Delta V$

Вал имеет форму цилиндра. Объем цилиндра рассчитывается по формуле:

$V = \pi r^2 L = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 L = \frac{\pi D^2 L}{4}$

где $D$ - диаметр цилиндра, $L$ - его длина (образующая).

Начальный объем вала $V_1 = \frac{\pi D_1^2 L}{4}$.

После обточки диаметр вала уменьшился на $\Delta D$. Новый диаметр $D_2$ будет равен:

$D_2 = D_1 - \Delta D$

Подставим значения: $D_2 = 8.4 \text{ см} - 0.2 \text{ см} = 8.2 \text{ см}$.

Конечный объем вала $V_2 = \frac{\pi D_2^2 L}{4}$.

Уменьшение объема вала $\Delta V$ равно разности начального и конечного объемов:

$\Delta V = V_1 - V_2 = \frac{\pi D_1^2 L}{4} - \frac{\pi D_2^2 L}{4} = \frac{\pi L}{4} (D_1^2 - D_2^2)$

Подставим численные значения:

$L = 97 \text{ см}$

$D_1 = 8.4 \text{ см}$

$D_2 = 8.2 \text{ см}$

$\pi \approx 3.1416$

Вычислим разность квадратов диаметров:

$D_1^2 = (8.4 \text{ см})^2 = 70.56 \text{ см}^2$

$D_2^2 = (8.2 \text{ см})^2 = 67.24 \text{ см}^2$

$D_1^2 - D_2^2 = 70.56 \text{ см}^2 - 67.24 \text{ см}^2 = 3.32 \text{ см}^2$

Теперь вычислим уменьшение объема $\Delta V$:

$\Delta V = \frac{3.1416 \times 97 \text{ см}}{4} \times 3.32 \text{ см}^2$

$\Delta V = \frac{304.9352 \text{ см} \times 3.32 \text{ см}^2}{4}$

$\Delta V = \frac{1012.3831104 \text{ см}^3}{4}$

$\Delta V = 253.0957776 \text{ см}^3$

Теперь вычислим уменьшение массы $\Delta m$:

$\Delta m = \rho \Delta V = 7.4 \text{ г/см}^3 \times 253.0957776 \text{ см}^3$

$\Delta m = 1872.91 \text{ г}$

Округлим результат до 1 г, как того требует условие задачи:

$\Delta m \approx 1873 \text{ г}$

Ответ: 1873 г