Номер 519, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

519. Длина хорды нижнего основания цилиндра равна 4см. Треугольник, образованный этой хордой и центром верхнего основания, имеет периметр 12 см и наклонен к плоскости основания цилиндра под углом $60^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Длина хорды нижнего основания цилиндра $l = 4 \text{ см}$

Периметр треугольника, образованного хордой и центром верхнего основания $P = 12 \text{ см}$

Угол наклона треугольника к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$l = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$P = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Объем цилиндра $V$

Решение:

Пусть $R$ – радиус основания цилиндра, $H$ – высота цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

1. Рассмотрим треугольник, образованный хордой $AB$ нижнего основания и центром $O_2$ верхнего основания. Пусть длина хорды $AB = l = 4 \text{ см}$. Стороны этого треугольника – это $AB$, $AO_2$ и $BO_2$. Поскольку $O_2$ является центром верхнего основания, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания и равноудалены от его центра $O_1$, то отрезки $AO_2$ и $BO_2$ равны по длине. Следовательно, $\triangle ABO_2$ является равнобедренным треугольником. Периметр треугольника $P_{ABO_2} = AB + AO_2 + BO_2$. Подставляем известные значения: $12 = 4 + 2 \cdot AO_2$. Отсюда $2 \cdot AO_2 = 12 - 4 = 8 \text{ см}$, что дает $AO_2 = 4 \text{ см}$. Таким образом, $\triangle ABO_2$ имеет стороны длиной $4 \text{ см}$, $4 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Это означает, что он является равносторонним треугольником.

2. Найдем высоту $O_2M$ этого равностороннего треугольника, где $M$ – середина хорды $AB$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = AB = 4 \text{ см}$, поэтому $O_2M = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Рассмотрим проекцию треугольника $\triangle ABO_2$ на плоскость нижнего основания. Пусть $O_1$ – центр нижнего основания цилиндра. $M$ – середина хорды $AB$. Отрезок $O_1M$ является проекцией отрезка $O_2M$ на плоскость нижнего основания. Высота цилиндра $H$ – это отрезок $O_1O_2$, который перпендикулярен обеим плоскостям оснований. Таким образом, треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$. Угол наклона треугольника $\triangle ABO_2$ к плоскости основания цилиндра – это угол между линией $O_2M$ и ее проекцией $O_1M$, то есть $\angle O_2MO_1 = \alpha = 60^\circ$.

4. Используя прямоугольный треугольник $\triangle O_1MO_2$, найдем высоту цилиндра $H$ и расстояние $O_1M$: $H = O_1O_2 = O_2M \cdot \sin(\angle O_2MO_1) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \text{ см}$. $O_1M = O_2M \cdot \cos(\angle O_2MO_1) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$.

5. Теперь найдем радиус основания $R$. В плоскости нижнего основания рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$, где $M$ – середина $AB$. Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$. По теореме Пифагора для $\triangle O_1MA$: $R^2 = O_1M^2 + AM^2$. Подставляем известные значения: $R^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$. Следовательно, радиус основания $R = \sqrt{7} \text{ см}$.

6. Вычислим объем цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$: $V = \pi \cdot 7 \cdot 3 = 21\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $21\pi \text{ см}^3$