Номер 525, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

525. Закрытая цилиндрическая бочка вмещает $128\pi$ л жидкости. Каковы должны быть высота и радиус основания бочки, чтобы на ее изготовление тратилось наименьшее количество материала? (Без учета расхода материала на швы).

Дано:

Объем цилиндрической бочки $V = 128\pi$ л.

Перевод в СИ:

Так как $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$, то объем $V = 128\pi \text{ дм}^3$. Вычисления будут проводиться в дециметрах, что является удобной единицей для данной задачи.

Найти:

Высоту $h$ и радиус основания $r$ бочки, при которых на ее изготовление тратится наименьшее количество материала (т.е. площадь полной поверхности цилиндра минимальна).

Решение:

Для закрытой цилиндрической бочки (цилиндра) объем $V$ выражается формулой:

$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности $A$ цилиндра (наименьшее количество материала) выражается формулой:

$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Из формулы объема выразим высоту $h$ через радиус $r$ и объем $V$:

$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right)$

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Теперь подставим заданное значение объема $V = 128\pi$ дм$^3$:

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2(128\pi)}{r}$

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{256\pi}{r}$

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную функции $A(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю:

$A'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + 256\pi r^{-1}\right)$

$A'(r) = 2\pi (2r) + 256\pi (-1)r^{-2}$

$A'(r) = 4\pi r - \frac{256\pi}{r^2}$

Приравняем производную к нулю:

$4\pi r - \frac{256\pi}{r^2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $4\pi$ (поскольку $\pi \ne 0$):

$r - \frac{64}{r^2} = 0$

$r = \frac{64}{r^2}$

$r^3 = 64$

$r = \sqrt[3]{64}$

$r = 4 \text{ дм}$

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, используя найденное значение $r=4$ дм и заданный объем $V=128\pi$ дм$^3$:

$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{128\pi}{\pi (4)^2} = \frac{128\pi}{16\pi} = \frac{128}{16} = 8 \text{ дм}$

Для подтверждения, что это минимум, можно использовать вторую производную:

$A''(r) = \frac{d}{dr}\left(4\pi r - 256\pi r^{-2}\right)$

$A''(r) = 4\pi - 256\pi (-2)r^{-3}$

$A''(r) = 4\pi + \frac{512\pi}{r^3}$

При $r=4$ дм:

$A''(4) = 4\pi + \frac{512\pi}{4^3} = 4\pi + \frac{512\pi}{64} = 4\pi + 8\pi = 12\pi$

Так как $A''(4) = 12\pi > 0$, найденное значение $r=4$ дм соответствует минимуму площади поверхности.

Ответ:

Высота бочки должна быть $8$ дм, а радиус основания — $4$ дм.