Номер 521, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

521. a) Около прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 6 см, 8 см и 10 см, описан цилиндр. Найдите его объем, если известно, что диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

б) Найдите объем равностороннего цилиндра, вписанного в прямую треугольную призму со сторонами основания 12 см, 16 см и 20 см.

a) Около прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 6 см, 8 см и 10 см, описан цилиндр. Найдите его объем, если известно, что диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

Дано:

Стороны основания призмы:
$a = 6 \text{ см}$
$b = 8 \text{ см}$
$c = 10 \text{ см}$
Цилиндр описан около призмы.
Диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

Перевод в СИ:
$a = 0.06 \text{ м}$
$b = 0.08 \text{ м}$
$c = 0.10 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{ц}$

Решение:

Проверим, является ли треугольник в основании призмы прямоугольным, используя теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$c^2 = 10^2 = 100$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c = 10 \text{ см}$.

Если цилиндр описан около прямой призмы, то его основание является описанной окружностью для основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом.
Следовательно, ширина осевого сечения (диаметр основания цилиндра $D = 2R$) равна его высоте $H$.
$H = D = 2R = 2 \times 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{ц} = \pi R^2 H$.
$V_{ц} = \pi \times (5 \text{ см})^2 \times 10 \text{ см} = \pi \times 25 \text{ см}^2 \times 10 \text{ см} = 250\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $250\pi \text{ см}^3$

б) Найдите объем равностороннего цилиндра, вписанного в прямую треугольную призму со сторонами основания 12 см, 16 см и 20 см.

Дано:

Стороны основания призмы:
$a_2 = 12 \text{ см}$
$b_2 = 16 \text{ см}$
$c_2 = 20 \text{ см}$
Цилиндр вписан в призму.
Цилиндр равносторонний.

Перевод в СИ:
$a_2 = 0.12 \text{ м}$
$b_2 = 0.16 \text{ м}$
$c_2 = 0.20 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{ц2}$

Решение:

Проверим, является ли треугольник в основании призмы прямоугольным:
$a_2^2 + b_2^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
$c_2^2 = 20^2 = 400$.
Так как $a_2^2 + b_2^2 = c_2^2$, треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c_2 = 20 \text{ см}$.

Если цилиндр вписан в прямую призму, то его основание является вписанной окружностью для основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле:
$r = \frac{a_2 + b_2 - c_2}{2}$.
$r = \frac{12 \text{ см} + 16 \text{ см} - 20 \text{ см}}{2} = \frac{28 \text{ см} - 20 \text{ см}}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$.

"Равносторонний цилиндр" означает, что его высота $H_2$ равна диаметру его основания $D_2 = 2r$.
$H_2 = 2r = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{ц2} = \pi r^2 H_2$.
$V_{ц2} = \pi \times (4 \text{ см})^2 \times 8 \text{ см} = \pi \times 16 \text{ см}^2 \times 8 \text{ см} = 128\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $128\pi \text{ см}^3$