Номер 524, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

524. На изготовление открытой цилиндрической банки расходуется $75\pi \text{ см}^2$ жести. Каковы должны быть высота и радиус основания банки, чтобы ее объем был наибольшим? (Расход материала на швы не учитывается).

Дано:

Площадь поверхности открытой цилиндрической банки $S = 75\pi \text{ см}^2$.

Система СИ:

$S = 75\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Высота банки $h$ и радиус основания $r$, при которых объем банки $V$ будет наибольшим.

Решение

1. Запишем формулу площади поверхности открытой цилиндрической банки. Открытая банка состоит из одного круглого основания и боковой поверхности. Площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi rh$. Общая площадь поверхности $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + 2\pi rh$.

2. По условию задачи, $S = 75\pi \text{ см}^2$. Приравниваем данную площадь к формуле:

$75\pi = \pi r^2 + 2\pi rh$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$75 = r^2 + 2rh$

Выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$2rh = 75 - r^2$

$h = \frac{75 - r^2}{2r}$

3. Запишем формулу для объема цилиндра:

$V = \pi r^2 h$

Подставим выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить объем как функцию только от радиуса $r$:

$V(r) = \pi r^2 \left(\frac{75 - r^2}{2r}\right)$

Упростим выражение:

$V(r) = \frac{\pi r (75 - r^2)}{2}$

$V(r) = \frac{75\pi r - \pi r^3}{2}$

4. Для нахождения максимального объема, найдем производную функции $V(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю. Это позволит найти критические точки.

$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{75\pi r - \pi r^3}{2}\right)$

$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2)$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2) = 0$

$75\pi - 3\pi r^2 = 0$

$3\pi r^2 = 75\pi$

$r^2 = \frac{75\pi}{3\pi}$

$r^2 = 25$

Так как радиус должен быть положительным (геометрический смысл), получаем $r = 5 \text{ см}$.

5. Для подтверждения, что найденное значение $r$ соответствует максимуму, найдем вторую производную и проверим ее знак.

$\frac{d^2V}{dr^2} = \frac{d}{dr} \left(\frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2)\right)$

$\frac{d^2V}{dr^2} = \frac{1}{2} (-6\pi r) = -3\pi r$

При $r=5$, $\frac{d^2V}{dr^2} = -3\pi(5) = -15\pi$. Поскольку вторая производная отрицательна, при $r=5$ достигается локальный максимум объема.

6. Найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $r=5 \text{ см}$ в выражение для $h$:

$h = \frac{75 - r^2}{2r} = \frac{75 - 5^2}{2 \times 5}$

$h = \frac{75 - 25}{10} = \frac{50}{10} = 5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания должен быть $5 \text{ см}$, а высота — $5 \text{ см}$.