Номер 529, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

529. Найдите объем усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 3 дм и 6 дм, а образующая:

а) равна 5 дм;

б) наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса: $R_1 = 6 \text{ дм}$

Радиус меньшего основания усеченного конуса: $R_2 = 3 \text{ дм}$

Для пункта а): образующая $l = 5 \text{ дм}$

Для пункта б): угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$R_2 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

Для пункта а): $l = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Для пункта б): $\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

Объем усеченного конуса $V_a$ (для случая а))

Объем усеченного конуса $V_b$ (для случая б))

Решение:

Общая формула для объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$, где $h$ — высота усеченного конуса, $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований.

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 6 \text{ дм} - 3 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$.

Значение суммы квадратов радиусов и их произведения, которое будет одинаковым для обоих пунктов:

$R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 = (6 \text{ дм})^2 + (6 \text{ дм})(3 \text{ дм}) + (3 \text{ дм})^2 = 36 \text{ дм}^2 + 18 \text{ дм}^2 + 9 \text{ дм}^2 = 63 \text{ дм}^2$.

а)

В данном случае образующая $l = 5 \text{ дм}$. Высоту $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного образующей, высотой и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$h^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$

$h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставляем значения:

$h = \sqrt{(5 \text{ дм})^2 - (3 \text{ дм})^2} = \sqrt{25 \text{ дм}^2 - 9 \text{ дм}^2} = \sqrt{16 \text{ дм}^2} = 4 \text{ дм}$

Теперь подставим значение высоты в формулу объема:

$V_a = \frac{1}{3}\pi (4 \text{ дм}) (63 \text{ дм}^2)$

$V_a = \frac{4 \cdot 63}{3}\pi \text{ дм}^3 = 4 \cdot 21\pi \text{ дм}^3 = 84\pi \text{ дм}^3$

Ответ: $84\pi \text{ дм}^3$

б)

В этом случае образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha = 30^\circ$. Используем тот же прямоугольный треугольник.

Высота $h$ связана с углом наклона $\alpha$ и разностью радиусов $R_1 - R_2$ соотношением:

$h = (R_1 - R_2) \tan \alpha$

Подставляем значения:

$h = (3 \text{ дм}) \tan 30^\circ$

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$h = 3 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ дм}$

Теперь подставим полученную высоту в формулу объема усеченного конуса:

$V_b = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3} \text{ дм}) (63 \text{ дм}^2)$

$V_b = \frac{63\sqrt{3}}{3}\pi \text{ дм}^3 = 21\sqrt{3}\pi \text{ дм}^3$

Ответ: $21\sqrt{3}\pi \text{ дм}^3$