Номер 526, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень А

526. Докажите, что объем конуса равен одной шестой произведения площади его осевого сечения на длину окружности основания.

Дано:

Конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$.

Найти:

Доказать, что объем конуса $V$ равен одной шестой произведения площади его осевого сечения $S_{сеч}$ на длину окружности основания $L$. То есть, доказать, что $V = \frac{1}{6} S_{сеч} L$.

Решение:

1. Запишем общеизвестную формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

2. Определим площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основанием этого треугольника является диаметр основания конуса, равный $2R$. Высотой треугольника является высота конуса $H$.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Следовательно, площадь осевого сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

3. Определим длину окружности основания конуса $L$. Длина окружности с радиусом $R$ задается формулой:

$L = 2\pi R$

4. Вычислим произведение площади осевого сечения на длину окружности основания, то есть $S_{сеч} \cdot L$:

$S_{сеч} \cdot L = (RH) \cdot (2\pi R)$

$S_{сеч} \cdot L = 2\pi R^2 H$

5. Теперь подставим полученное выражение для $S_{сеч} \cdot L$ в правую часть равенства, которое мы хотим доказать: $\frac{1}{6} S_{сеч} L$:

$\frac{1}{6} S_{сеч} L = \frac{1}{6} (2\pi R^2 H)$

Упростим это выражение:

$\frac{1}{6} (2\pi R^2 H) = \frac{2}{6} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

6. Сравнивая полученный результат с формулой объема конуса (из пункта 1), мы видим:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

И

$\frac{1}{6} S_{сеч} L = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Поскольку правые части этих равенств совпадают, левые части также равны.

Следовательно, $V = \frac{1}{6} S_{сеч} L$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Объем конуса $V$ равен одной шестой произведения площади его осевого сечения $S_{сеч}$ на длину окружности основания $L$, поскольку обе стороны равенства приводятся к выражению $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.