Номер 520, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

520. Прямоугольник с размерами $2a$ м и $a$ м является разверткой боковой поверхности двух разных цилиндров. Найдите отношение их объемов.

Дано

Размеры прямоугольника (развертки боковой поверхности цилиндра): $L_1 = 2a$, $L_2 = a$.

Найти:

Отношение объемов двух возможных цилиндров $V_1 : V_2$.

Решение

Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($H$), а другая — длине окружности его основания ($C = 2\pi R$), где $R$ — радиус основания.

Рассмотрим два возможных случая формирования цилиндра из данного прямоугольника:

Случай 1:

Пусть одна сторона прямоугольника ($L_1 = 2a$) является длиной окружности основания, а другая сторона ($L_2 = a$) является высотой цилиндра.

Длина окружности основания $C_1 = 2a$.

Высота цилиндра $H_1 = a$.

Найдем радиус основания $R_1$ из формулы длины окружности: $C_1 = 2\pi R_1$.

$2a = 2\pi R_1 \implies R_1 = \frac{2a}{2\pi} = \frac{a}{\pi}$.

Объем первого цилиндра $V_1$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

$V_1 = \pi R_1^2 H_1 = \pi \left(\frac{a}{\pi}\right)^2 a = \pi \frac{a^2}{\pi^2} a = \frac{a^3}{\pi}$.

Случай 2:

Теперь поменяем роли сторон прямоугольника. Пусть другая сторона прямоугольника ($L_2 = a$) является длиной окружности основания, а первая сторона ($L_1 = 2a$) является высотой цилиндра.

Длина окружности основания $C_2 = a$.

Высота цилиндра $H_2 = 2a$.

Найдем радиус основания $R_2$:

$a = 2\pi R_2 \implies R_2 = \frac{a}{2\pi}$.

Объем второго цилиндра $V_2$:

$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^2 (2a) = \pi \frac{a^2}{4\pi^2} (2a) = \frac{2\pi a^3}{4\pi^2} = \frac{a^3}{2\pi}$.

Найдем отношение объемов $V_1$ к $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{a^3}{\pi}}{\frac{a^3}{2\pi}} = \frac{a^3}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{a^3} = 2$.

Ответ:

Отношение объемов цилиндров равно $2:1$ или $2$.