Номер 515, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

515. Чему равен объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг:

а) его большей стороны;

б) его меньшей стороны?

Дано:

Длины сторон прямоугольника: $a = 4 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем тела, полученного вращением прямоугольника:

а) вокруг его большей стороны

б) вокруг его меньшей стороны

Решение:

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой ($h$) цилиндра, а другая сторона — радиусом ($r$) основания цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

а) его большей стороны

Большая сторона прямоугольника равна $6 \text{ см}$. Меньшая сторона равна $4 \text{ см}$.

Если вращение происходит вокруг большей стороны, то:

Высота цилиндра $h_a = 6 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $r_a = 4 \text{ см}$

Вычислим объем $V_a$:

$V_a = \pi r_a^2 h_a = \pi (4 \text{ см})^2 (6 \text{ см})$

$V_a = \pi (16 \text{ см}^2) (6 \text{ см})$

$V_a = 96\pi \text{ см}^3$

В единицах СИ:

$h_a = 0.06 \text{ м}$

$r_a = 0.04 \text{ м}$

$V_a = \pi (0.04 \text{ м})^2 (0.06 \text{ м})$

$V_a = \pi (0.0016 \text{ м}^2) (0.06 \text{ м})$

$V_a = 0.000096\pi \text{ м}^3$

Ответ: $96\pi \text{ см}^3$ (или $0.000096\pi \text{ м}^3$)

б) его меньшей стороны

Меньшая сторона прямоугольника равна $4 \text{ см}$. Большая сторона равна $6 \text{ см}$.

Если вращение происходит вокруг меньшей стороны, то:

Высота цилиндра $h_b = 4 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $r_b = 6 \text{ см}$

Вычислим объем $V_b$:

$V_b = \pi r_b^2 h_b = \pi (6 \text{ см})^2 (4 \text{ см})$

$V_b = \pi (36 \text{ см}^2) (4 \text{ см})$

$V_b = 144\pi \text{ см}^3$

В единицах СИ:

$h_b = 0.04 \text{ м}$

$r_b = 0.06 \text{ м}$

$V_b = \pi (0.06 \text{ м})^2 (0.04 \text{ м})$

$V_b = \pi (0.0036 \text{ м}^2) (0.04 \text{ м})$

$V_b = 0.000144\pi \text{ м}^3$

Ответ: $144\pi \text{ см}^3$ (или $0.000144\pi \text{ м}^3$)