Номер 511, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

511. Из одного металла изготавливаются неравные детали формы усеченных пирамид, имеющих равные суммы площадей оснований и равные высоты. Равны ли массы этих деталей? Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Дано:

Детали изготовлены из одного металла, следовательно, их плотность $\rho$ одинакова.

Детали имеют форму усеченных пирамид.

Сумма площадей оснований $S_1 + S_2 = \text{const}$ (обозначим ее как $S_{\text{sum}}$).

Высота $h = \text{const}$.

Найти:

1. Равны ли массы этих деталей?

2. Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Решение

Равны ли массы этих деталей?

Масса детали $m$ связана с ее объемом $V$ и плотностью $\rho$ соотношением $m = \rho V$. Поскольку все детали изготовлены из одного металла, плотность $\rho$ для них одинакова. Следовательно, для определения равенства масс необходимо определить равенство объемов деталей.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

Согласно условию задачи, высота $h$ является постоянной величиной для всех деталей. Также сумма площадей оснований $S_1 + S_2$ является постоянной величиной, которую мы обозначили как $S_{\text{sum}}$. Подставляя $S_{\text{sum}}$ в формулу объема, получаем:

$V = \frac{1}{3}h(S_{\text{sum}} + \sqrt{S_1 S_2})$

Из этой формулы видно, что объем $V$ зависит от произведения площадей оснований $S_1 S_2$. Условие "неравные детали" при сохранении постоянной суммы площадей оснований $S_1 + S_2$ позволяет $S_1$ и $S_2$ принимать различные значения. Например, если $S_{\text{sum}} = 10$, то могут быть пары $(S_1, S_2)$ такие как $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$ и $(5, 5)$.

Рассмотрим произведения $S_1 S_2$ для этих пар:

Для $(1, 9)$: $S_1 S_2 = 1 \cdot 9 = 9$

Для $(2, 8)$: $S_1 S_2 = 2 \cdot 8 = 16$

Для $(3, 7)$: $S_1 S_2 = 3 \cdot 7 = 21$

Для $(4, 6)$: $S_1 S_2 = 4 \cdot 6 = 24$

Для $(5, 5)$: $S_1 S_2 = 5 \cdot 5 = 25$

Как видно из примеров, произведение $S_1 S_2$ не является постоянной величиной, хотя сумма $S_1 + S_2$ постоянна. Следовательно, $\sqrt{S_1 S_2}$ также не будет постоянной величиной. Это означает, что объемы $V$ разных деталей (при одинаковой $S_{\text{sum}}$ и $h$) будут различаться, а значит, будут различаться и их массы.

Ответ: Нет, массы этих деталей, как правило, не равны, поскольку объем усеченной пирамиды зависит от произведения площадей оснований, которое может меняться при постоянной сумме площадей оснований.

Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Чтобы изготовить деталь с наибольшей массой, необходимо максимизировать ее объем $V$. Формула объема:

$V = \frac{1}{3}h(S_{\text{sum}} + \sqrt{S_1 S_2})$

Поскольку $h$ и $S_{\text{sum}}$ являются постоянными величинами, для максимизации объема $V$ необходимо максимизировать выражение $\sqrt{S_1 S_2}$, что равносильно максимизации произведения $S_1 S_2$.

У нас есть два положительных числа $S_1$ и $S_2$, сумма которых $S_1 + S_2 = S_{\text{sum}}$ является постоянной. Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM inequality), для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство достигается, когда $a=b$.

Применяя это неравенство к $S_1$ и $S_2$:

$\frac{S_1 + S_2}{2} \ge \sqrt{S_1 S_2}$

Подставляем $S_1 + S_2 = S_{\text{sum}}$:

$\frac{S_{\text{sum}}}{2} \ge \sqrt{S_1 S_2}$

Возводим обе стороны в квадрат:

$\left(\frac{S_{\text{sum}}}{2}\right)^2 \ge S_1 S_2$

Максимальное значение произведения $S_1 S_2$ достигается, когда $S_1 = S_2$. В этом случае $S_1 = S_2 = \frac{S_{\text{sum}}}{2}$.

Таким образом, наибольший объем (и, следовательно, наибольшая масса) детали будет достигнут, когда площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды равны.

Ответ: Да, можно изготовить такую деталь с наибольшей массой. Это достигается, когда площади обоих оснований усеченной пирамиды равны ($S_1 = S_2$).