Номер 504, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

504. Высота пирамиды, основанием которой является правильный шестиугольник, равна 3 дм. Через точку этой высоты, удаленной от ее вершины на 1 дм, проходит сечение пирамиды, параллельное основанию, площадь которого равна $Q$. Найдите объем усеченной пирамиды, которая отделена указанным сечением от данной пирамиды.

Дано:

Высота пирамиды $H = 3$ дм.
Расстояние сечения от вершины $h_1 = 1$ дм.
Площадь сечения $S_1 = Q$.

Перевод в СИ:

Высота пирамиды $H = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}.$
Расстояние сечения от вершины $h_1 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}.$
Площадь сечения $S_1 = Q$ (предполагается, что $Q$ выражена в дм$^2$, иначе единицы объема будут зависеть от единиц $Q$).

Найти:

Объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$.

Решение:

Усеченная пирамида образуется путем отсечения меньшей пирамиды от исходной. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов исходной большой пирамиды и отсеченной малой пирамиды.

1. Найдем высоту малой (отсеченной) пирамиды. Она дана в условии: $h_1 = 1$ дм.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды (то есть расстояние между основанием большой пирамиды и плоскостью сечения):
$h_{усеч} = H - h_1 = 3 \text{ дм} - 1 \text{ дм} = 2 \text{ дм}$.

3. Найдем площадь основания $S_0$ исходной большой пирамиды. Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида (отсеченная) подобна большой пирамиде. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров (в данном случае, высот):
$\frac{S_1}{S_0} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2$
Отсюда, $S_0 = S_1 \cdot \left(\frac{H}{h_1}\right)^2$.
Подставим известные значения:
$S_0 = Q \cdot \left(\frac{3 \text{ дм}}{1 \text{ дм}}\right)^2 = Q \cdot 3^2 = 9Q$.

4. Вычислим объем исходной большой пирамиды $V_{больш}$ по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$:
$V_{больш} = \frac{1}{3} S_0 H = \frac{1}{3} (9Q) (3) = 9Q \text{ дм}^3$.

5. Вычислим объем отсеченной малой пирамиды $V_{мал}$:
$V_{мал} = \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} Q (1) = \frac{Q}{3} \text{ дм}^3$.

6. Найдем объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$ как разность объемов большой и малой пирамид:
$V_{усеч} = V_{больш} - V_{мал} = 9Q - \frac{Q}{3} = \frac{27Q - Q}{3} = \frac{26Q}{3} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{26Q}{3}$ дм$^3$.