Номер 508, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

508. В треугольной пирамиде две боковые грани перпендикулярны и перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Площади этих граней равны $S$ и $Q$, а длина их общего ребра равна $b$. Через середину высоты пирамиды проведено сечение, параллельное ее основанию. Найдите объем образованной при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида.

Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания пирамиды.

Эти две боковые грани перпендикулярны друг другу.

Площадь первой боковой грани: $S$

Площадь второй боковой грани: $Q$

Длина общего ребра этих граней: $b$

Через середину высоты пирамиды проведено сечение, параллельное ее основанию.

Найти:

Объем образованной усеченной пирамиды $V_{\text{усеч}}$.

Решение:

Пусть вершина пирамиды будет $V$, а основание — треугольник $ABC$. По условию, две боковые грани (например, $VAB$ и $VAC$) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости. Следовательно, общее ребро $VA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $VA$ является высотой пирамиды. Длина этого общего ребра равна $b$, значит, высота исходной пирамиды $H = VA = b$.

Также по условию, эти две боковые грани ($VAB$ и $VAC$) перпендикулярны друг другу. Так как $VA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то $VA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $A$. В частности, $VA \perp AB$ и $VA \perp AC$. Для того чтобы грани $VAB$ и $VAC$ были перпендикулярны, угол между ними должен быть $90^\circ$. Поскольку $VA$ — их общее ребро, а $AB$ и $AC$ — перпендикуляры к $VA$ в плоскостях этих граней, то угол между $AB$ и $AC$ должен быть $90^\circ$. Таким образом, основание пирамиды, треугольник $ABC$, является прямоугольным треугольником с катетами $AB$ и $AC$.

Площадь грани $VAB$ (обозначим ее как $S$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $VA$ и $AB$: $S = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB$. Подставляя $VA = b$, получаем $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AB$. Отсюда выражаем длину катета $AB$: $AB = \frac{2S}{b}$.

Аналогично, площадь грани $VAC$ (обозначим ее как $Q$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $VA$ и $AC$: $Q = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AC$. Подставляя $VA = b$, получаем $Q = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AC$. Отсюда выражаем длину катета $AC$: $AC = \frac{2Q}{b}$.

Площадь основания $A_{\text{осн}}$ (треугольник $ABC$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB$ и $AC$: $A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$. Подставляя найденные выражения для $AB$ и $AC$: $A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2S}{b}\right) \cdot \left(\frac{2Q}{b}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4SQ}{b^2} = \frac{2SQ}{b^2}$.

Объем исходной пирамиды $V_{\text{пир}}$ равен: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{осн}} \cdot H$. Подставляем $A_{\text{осн}} = \frac{2SQ}{b^2}$ и $H = b$: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2SQ}{b^2} \cdot b = \frac{2SQ}{3b}$.

Сечение проведено через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Это сечение отсекает малую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ между малой пирамидой и исходной пирамидой равен отношению их высот: $k = \frac{H_{\text{мал}}}{H_{\text{пир}}} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Объем малой пирамиды $V_{\text{мал}}$: $V_{\text{мал}} = k^3 \cdot V_{\text{пир}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot V_{\text{пир}} = \frac{1}{8} \cdot V_{\text{пир}}$.

Объем образованной усеченной пирамиды $V_{\text{усеч}}$ равен разности объемов исходной пирамиды и отсеченной малой пирамиды: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{пир}} - V_{\text{мал}}$. Подставляем выражение для $V_{\text{мал}}$: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{пир}} - \frac{1}{8} V_{\text{пир}} = \left(1 - \frac{1}{8}\right) V_{\text{пир}} = \frac{7}{8} V_{\text{пир}}$.

Теперь подставим ранее найденное выражение для $V_{\text{пир}}$: $V_{\text{усеч}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{2SQ}{3b} = \frac{14SQ}{24b} = \frac{7SQ}{12b}$.

Ответ:

Объем образованной усеченной пирамиды равен $\frac{7SQ}{12b}$.