Номер 505, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

505. Основание пирамиды – прямоугольная трапеция, в которой большая из боковых сторон 12 см, а меньший угол $30^\circ$. Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна $90 \text{ см}^2$. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольная трапеция.

Большая из боковых сторон трапеции $c = 12 \text{ см}$.

Меньший угол трапеции $\alpha = 30^\circ$.

Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_L = 90 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$S_L = 90 \text{ см}^2 = 0.009 \text{ м}^2$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Пусть основание пирамиды – прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ – высота трапеции ($AD \perp AB$, $AD \perp DC$). Сторона $BC$ – большая из боковых сторон, $BC = 12 \text{ см}$. Меньший угол трапеции – это $\angle C = 30^\circ$.

Опустим высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $DC$. Тогда $BK = AD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$:

$AD = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}$.

$KC = BC \cdot \cos(\angle C) = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Поскольку все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания, проекция вершины пирамиды на основание (пусть это точка $O$) является центром вписанной окружности в основание трапеции. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма противоположных сторон равна: $AB + DC = AD + BC$.

Пусть $DC = a$ и $AB = b$. Тогда $b = a + KC = a + 6\sqrt{3}$.

Подставляем в условие вписанной окружности:

$(a + 6\sqrt{3}) + a = 6 + 12$

$2a + 6\sqrt{3} = 18$

$2a = 18 - 6\sqrt{3}$

$a = 9 - 3\sqrt{3} \text{ см}$ (длина $DC$)

Тогда $b = (9 - 3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} = 9 + 3\sqrt{3} \text{ см}$ (длина $AB$)

Вычислим площадь основания трапеции $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{AB + DC}{2} \cdot AD = \frac{(9 + 3\sqrt{3}) + (9 - 3\sqrt{3})}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2$.

Вычислим периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = AB + BC + CD + DA = (9 + 3\sqrt{3}) + 12 + (9 - 3\sqrt{3}) + 6 = 18 + 12 + 6 = 36 \text{ см}$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, радиус этой окружности $r = \frac{AD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_L$ также может быть выражена через периметр основания $P_{осн}$ и апофему пирамиды $h_a$:

$S_L = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$

$90 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h_a$

$90 = 18 \cdot h_a$

$h_a = \frac{90}{18} = 5 \text{ см}$.

Пусть $H$ – высота пирамиды. Апофема $h_a$, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ – гипотенуза.

$H^2 + r^2 = h_a^2$

$H^2 + 3^2 = 5^2$

$H^2 + 9 = 25$

$H^2 = 16$

$H = 4 \text{ см}$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 4$

$V = 18 \cdot 4$

$V = 72 \text{ см}^3$.

Ответ: $72 \text{ см}^3$