Номер 500, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

500. Можно ли разрезать произвольную треугольную усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды? Если можно, то объясните, как это сделать.

Решение

Да, произвольную треугольную усеченную пирамиду можно разрезать на три равновеликие усеченные пирамиды. Для этого необходимо провести две плоскости, параллельные основаниям усеченной пирамиды.

Объяснение и метод:

Пусть дана усеченная пирамида с площадями оснований $S_1$ (нижнее, большее основание) и $S_2$ (верхнее, меньшее основание), и высотой $H$. Представим эту усеченную пирамиду как часть полной (не усеченной) пирамиды. Пусть $h_1$ - высота полной пирамиды от ее вершины до основания $S_1$, а $h_2$ - высота полной пирамиды от ее вершины до основания $S_2$. Очевидно, что $H = h_1 - h_2$.

Объем пирамиды пропорционален кубу ее высоты от вершины, или, что эквивалентно, пропорционален $3/2$ степени площади ее основания. То есть, объем пирамиды до сечения с площадью $S_x$ и высотой $h_x$ от вершины выражается как $V(h_x) = C \cdot h_x^3$, где $C$ - некоторая константа для данной полной пирамиды. Также верно, что $S_x \propto h_x^2$, следовательно, $h_x \propto \sqrt{S_x}$, и $V(h_x) \propto S_x^{3/2}$.

Объем всей усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов двух полных пирамид: $V = V(h_1) - V(h_2) = C(h_1^3 - h_2^3)$.

Для того чтобы разрезать усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды, необходимо найти две промежуточные плоскости, параллельные основаниям, с высотами $h_A$ и $h_B$ от вершины полной пирамиды ($h_1 > h_A > h_B > h_2$). Объем каждой из трех частей должен быть равен $V/3$. Таким образом:

• Объем нижней части (между $S_1$ и $S_A$): $V_1 = C(h_1^3 - h_A^3) = V/3$
• Объем средней части (между $S_A$ и $S_B$): $V_2 = C(h_A^3 - h_B^3) = V/3$
• Объем верхней части (между $S_B$ и $S_2$): $V_3 = C(h_B^3 - h_2^3) = V/3$

Из этого следует, что $h_1^3 - h_A^3 = h_A^3 - h_B^3 = h_B^3 - h_2^3$. Пусть $X_i = h_i^3$. Тогда $X_1 - X_A = X_A - X_B = X_B - X_2$. Это означает, что $X_1, X_A, X_B, X_2$ образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, мы можем найти $X_A$ и $X_B$ как:

$X_A = X_1 - \frac{X_1 - X_2}{3} = \frac{2X_1 + X_2}{3}$

$X_B = X_2 + \frac{X_1 - X_2}{3} = \frac{X_1 + 2X_2}{3}$

Подставляя $X_i = h_i^3$, получаем выражения для кубов высот промежуточных сечений:

$h_A^3 = \frac{2h_1^3 + h_2^3}{3}$

$h_B^3 = \frac{h_1^3 + 2h_2^3}{3}$

Отсюда можно найти сами высоты $h_A$ и $h_B$:

$h_A = \sqrt[3]{\frac{2h_1^3 + h_2^3}{3}}$

$h_B = \sqrt[3]{\frac{h_1^3 + 2h_2^3}{3}}$

Значения $h_1$ и $h_2$ могут быть найдены, если известны $H$, $S_1$, $S_2$. Так как площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных размеров (в данном случае высот), то $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$. Отсюда $\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$. Пусть $k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$. Тогда $h_1 = k h_2$. Зная, что $H = h_1 - h_2 = k h_2 - h_2 = (k-1)h_2$, получаем $h_2 = \frac{H}{k-1}$ и $h_1 = \frac{kH}{k-1}$.

После определения $h_A$ и $h_B$ можно вычислить площади соответствующих сечений $S_A$ и $S_B$ по формулам $S_A = S_1 \left(\frac{h_A}{h_1}\right)^2$ и $S_B = S_1 \left(\frac{h_B}{h_1}\right)^2$. Эти две плоскости разрежут исходную усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо провести две плоскости, параллельные основаниям, на таких высотах, чтобы кубы высот этих сечений от вершины полной пирамиды делили интервал $[h_2^3, h_1^3]$ на три равные части. Таким образом, площади этих сечений $S_A$ и $S_B$ будут удовлетворять соотношениям $S_A^{3/2} = \frac{2S_1^{3/2} + S_2^{3/2}}{3}$ и $S_B^{3/2} = \frac{S_1^{3/2} + 2S_2^{3/2}}{3}$.