Номер 495, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

495. Найдите ребро основания правильной треугольной пирамиды, если ее объем равен $9\text{ дм}^3$, а двугранный угол при ребре основания $45^\circ$.

Дано:

Пирамида: правильная треугольная

Объем пирамиды $V = 9 \text{ дм}^3$

Двугранный угол при ребре основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$V = 9 \text{ дм}^3 = 9 \times (10^{-1} \text{ м})^3 = 9 \times 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.009 \text{ м}^3$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Ребро основания $a$.

Решение:

Пусть ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $a$.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды (равностороннего треугольника) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Радиус вписанной окружности в основание (который является апофемой основания, то есть расстоянием от центра основания до середины стороны) для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Высота пирамиды $h$, апофема основания $r$ и апофема боковой грани $l_a$ образуют прямоугольный треугольник. Двугранный угол при ребре основания $\alpha$ – это угол между апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани $l_a$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $\tan \alpha = \frac{h}{r}$

Так как $\alpha = 45^\circ$, то $\tan 45^\circ = 1$.

Следовательно, $h = r$.

Подставляем выражение для $r$: $h = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$

Подставляем выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) \left( \frac{a \sqrt{3}}{6} \right)$

$V = \frac{a^2 \sqrt{3} \cdot a \sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 6}$

$V = \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^2}{72}$

$V = \frac{a^3 \cdot 3}{72}$

$V = \frac{a^3}{24}$

Теперь выразим $a^3$: $a^3 = 24V$

Подставим значение объема $V = 0.009 \text{ м}^3$: $a^3 = 24 \times 0.009 \text{ м}^3$

$a^3 = 0.216 \text{ м}^3$

Извлекаем кубический корень: $a = \sqrt[3]{0.216} \text{ м}$

$a = 0.6 \text{ м}$

Переведем ответ обратно в дециметры, так как исходные данные были в дециметрах: $a = 0.6 \text{ м} = 0.6 \times 10 \text{ дм} = 6 \text{ дм}$

Ответ:

Ребро основания равно 6 дм.