Номер 489, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

уровень С

489. а) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметры двух его смежных боковых граней равны 16 см и 24 см.

б) Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем, если стороны его основания относятся как 3 : 5, а периметр меньшей боковой грани равен 36 см.

a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметры двух его смежных боковых граней равны 16 см и 24 см.

Дано

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $l, w, h$ соответственно.
Периметр первой смежной боковой грани: $P_1 = 2(l+h) = 16 \text{ см}$
Периметр второй смежной боковой грани: $P_2 = 2(w+h) = 24 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$P_2 = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$, при котором площадь боковой поверхности $S_{бок}$ максимальна.

Решение

Из данных периметров граней выразим $l$ и $w$ через $h$:
$2(l+h) = 16 \Rightarrow l+h = 8 \Rightarrow l = 8-h$
$2(w+h) = 24 \Rightarrow w+h = 12 \Rightarrow w = 12-h$

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда выражается формулой:
$S_{бок} = 2(l+w)h$

Подставим выражения для $l$ и $w$ в формулу $S_{бок}$:
$S_{бок}(h) = 2((8-h) + (12-h))h$
$S_{бок}(h) = 2(20-2h)h$
$S_{бок}(h) = (40-4h)h$
$S_{бок}(h) = 40h - 4h^2$

Чтобы найти максимальное значение $S_{бок}(h)$, найдем производную функции по $h$ и приравняем ее к нулю:
$\frac{dS_{бок}}{dh} = \frac{d}{dh}(40h - 4h^2) = 40 - 8h$

Приравняем производную к нулю:
$40 - 8h = 0$
$8h = 40$
$h = 5 \text{ см}$

Проверим, что это максимум, с помощью второй производной:
$\frac{d^2S_{бок}}{dh^2} = \frac{d}{dh}(40 - 8h) = -8$
Поскольку вторая производная отрицательна ($-8 < 0$), при $h=5$ см функция $S_{бок}$ достигает своего максимума.

Теперь найдем значения $l$ и $w$:
$l = 8-h = 8-5 = 3 \text{ см}$
$w = 12-h = 12-5 = 7 \text{ см}$

Все измерения положительны, что является физически допустимым результатом.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен:
$V = lwh$
$V = 3 \text{ см} \times 7 \text{ см} \times 5 \text{ см}$
$V = 105 \text{ см}^3$

Ответ: 105 см$^3$

б) Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем, если стороны его основания относятся как $3 : 5$, а периметр меньшей боковой грани равен 36 см.

Дано

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.
Отношение сторон основания: $a:b = 3:5$
Периметр меньшей боковой грани: $P_{min\_бок} = 36 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P_{min\_бок} = 36 \text{ см} = 0.36 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$, при котором объем параллелепипеда $V$ максимален.

Решение

Из отношения сторон основания $a:b = 3:5$ можно записать $a = 3k$ и $b = 5k$ для некоторого положительного коэффициента $k$.

Боковые грани имеют размеры $(a \times h)$ и $(b \times h)$. Поскольку $a < b$ (так как $3k < 5k$), меньшая боковая грань имеет стороны $a$ и $h$.

Периметр меньшей боковой грани: $2(a+h) = 36 \text{ см}$
$2(3k+h) = 36$
$3k+h = 18$
Выразим $h$ через $k$:
$h = 18-3k$

Объем прямоугольного параллелепипеда:
$V = abh$
Подставим $a=3k$, $b=5k$ и $h=18-3k$ в формулу объема:
$V(k) = (3k)(5k)(18-3k)$
$V(k) = 15k^2(18-3k)$
$V(k) = 270k^2 - 45k^3$

Чтобы найти максимальное значение $V(k)$, найдем производную функции по $k$ и приравняем ее к нулю:
$\frac{dV}{dk} = \frac{d}{dk}(270k^2 - 45k^3) = 540k - 135k^2$

Приравняем производную к нулю:
$540k - 135k^2 = 0$
$135k(4-k) = 0$

Возможные значения $k$: $k=0$ или $k=4$.
$k=0$ приводит к нулевым размерам и объему, что не является максимумом. Следовательно, $k=4$.

Проверим, что это максимум, с помощью второй производной:
$\frac{d^2V}{dk^2} = \frac{d}{dk}(540k - 135k^2) = 540 - 270k$
При $k=4$:
$\frac{d^2V}{dk^2} = 540 - 270(4) = 540 - 1080 = -540$
Поскольку вторая производная отрицательна ($-540 < 0$), при $k=4$ функция $V$ достигает своего максимума.

Теперь найдем значения сторон основания и высоты:
$a = 3k = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$
$b = 5k = 5 \times 4 = 20 \text{ см}$
$h = 18-3k = 18 - 3 \times 4 = 18 - 12 = 6 \text{ см}$

Все измерения положительны.

Требуется найти площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)h$
$S_{бок} = 2(12 \text{ см} + 20 \text{ см}) \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 2(32 \text{ см}) \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 64 \text{ см} \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 384 \text{ см}^2$

Ответ: 384 см$^2$