Номер 488, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

488. Площадь одной из боковых граней треугольной призмы равна $Q$, а расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим ей боковым ребром равно $d$. Найдите объем этой призмы.

Дано

$Q$ — площадь одной из боковых граней треугольной призмы.

$d$ — расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим ей боковым ребром.

Найти:

$V$ — объем призмы.

Решение

Рассмотрим треугольную призму. Пусть $H$ будет высотой призмы (перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований).

Пусть $a$ — длина стороны основания, соответствующей выбранной боковой грани. Боковая грань является параллелограммом (или прямоугольником для прямой призмы). Площадь этой боковой грани $Q$ может быть выражена как произведение длины стороны основания на высоту призмы, если призма является прямой, или если боковая грань перпендикулярна основанию.

Для большинства задач школьного курса геометрии, если не указано иное, предполагается, что высота боковой грани, опирающейся на сторону основания, равна высоте самой призмы. Таким образом:

$Q = a \cdot H$

Отсюда выразим высоту призмы $H$ через $Q$ и $a$:

$H = \frac{Q}{a}$

Расстояние $d$ между плоскостью выбранной боковой грани и противолежащим ей боковым ребром является высотой треугольного основания. Точнее, если боковая грань образована стороной $a$ основания, то противолежащее ей боковое ребро соединяет вершину основания, не лежащую на стороне $a$, с соответствующей вершиной верхнего основания. Расстояние от этой вершины до стороны $a$ в плоскости основания как раз и является высотой $h_a$ треугольного основания, проведенной к стороне $a$. Таким образом:

$d = h_a$

Площадь основания призмы $S_{осн}$ (треугольника) можно выразить через сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к этой стороне:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Подставим $h_a = d$ в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d$

Объем призмы $V$ находится по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$.

Подставим полученные выражения для $S_{осн}$ и $H$:

$V = \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot d\right) \cdot \left(\frac{Q}{a}\right)$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot d$

Ответ:

Объем призмы равен $V = \frac{1}{2} Q d$.