Номер 491, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

491. a) Требуется изготовить ящик с крышкой формы прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен $9 м^3$, причем стороны основания должны относиться как $1 : 2$. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы площадь его поверхности была наименьшей?

б) Объем правильной треугольной призмы равен $16 дм^3$. Каковы должны быть длины стороны основания и высоты призмы, чтобы площадь ее поверхности была наименьшей?

а) Требуется изготовить ящик с крышкой формы прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 9 м³, причем стороны основания должны относиться как 1 : 2. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы площадь его поверхности была наименьшей?

Дано:

Форма ящика: прямоугольный параллелепипед.

Объем ящика: $V = 9 \text{ м}^3$.

Соотношение сторон основания: $a:b = 1:2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Найти:

Размеры ящика (стороны основания $a, b$ и высота $h$), при которых площадь поверхности $S$ будет наименьшей.

Решение:

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда будут $a$ и $b$, а высота - $h$.

Из условия $a:b = 1:2$ мы можем записать $b = 2a$.

Объем прямоугольного параллелепипеда выражается формулой $V = a \cdot b \cdot h$.

Подставим $b = 2a$ в формулу объема: $V = a \cdot (2a) \cdot h = 2a^2h$.

Так как $V = 9 \text{ м}^3$, имеем $9 = 2a^2h$. Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{9}{2a^2}$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (с учетом крышки) выражается формулой $S = 2(ab + ah + bh)$.

Подставим $b = 2a$ в формулу площади поверхности:

$S = 2(a \cdot 2a + a \cdot h + 2a \cdot h) = 2(2a^2 + 3ah)$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$S(a) = 2\left(2a^2 + 3a \cdot \frac{9}{2a^2}\right) = 2\left(2a^2 + \frac{27}{2a}\right)$.

Раскроем скобки:

$S(a) = 4a^2 + \frac{27}{a}$.

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю:

$S'(a) = \frac{d}{da}(4a^2 + 27a^{-1}) = 8a - 27a^{-2} = 8a - \frac{27}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$8a - \frac{27}{a^2} = 0$

$8a = \frac{27}{a^2}$

$8a^3 = 27$

$a^3 = \frac{27}{8}$

$a = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ м}$.

Проверим, что это точка минимума, с помощью второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da}(8a - 27a^{-2}) = 8 + 54a^{-3} = 8 + \frac{54}{a^3}$.

При $a = 1.5 \text{ м}$, $S''(1.5) = 8 + \frac{54}{(1.5)^3} = 8 + \frac{54}{3.375} > 0$. Следовательно, это точка минимума.

Теперь найдем остальные размеры ящика:

$b = 2a = 2 \cdot 1.5 = 3 \text{ м}$.

$h = \frac{9}{2a^2} = \frac{9}{2(1.5)^2} = \frac{9}{2(2.25)} = \frac{9}{4.5} = 2 \text{ м}$.

Ответ: Размеры ящика должны быть $1.5 \text{ м} \times 3 \text{ м} \times 2 \text{ м}$.

б) Объем правильной треугольной призмы равен 16 дм³. Каковы должны быть длины стороны основания и высоты призмы, чтобы площадь ее поверхности была наименьшей?

Дано:

Форма: правильная треугольная призма.

Объем призмы: $V = 16 \text{ дм}^3$.

Перевод в СИ:

Объем $V = 16 \text{ дм}^3 = 16 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 0.016 \text{ м}^3$. Однако, для удобства вычислений, и так как конечные единицы не указаны, расчеты будут проводиться в дециметрах.

Найти:

Длины стороны основания $a$ и высоты $h$ призмы, при которых площадь поверхности $S$ будет наименьшей.

Решение:

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы - $h$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник.

Площадь основания $A_{осн}$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$A_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$V = A_{осн} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2h$.

Известно, что $V = 16 \text{ дм}^3$. Выразим высоту $h$ через $a$:

$16 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2h \Rightarrow h = \frac{16 \cdot 4}{\sqrt{3}a^2} = \frac{64}{\sqrt{3}a^2}$.

Площадь поверхности $S$ правильной треугольной призмы состоит из двух площадей оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников (граней).

$S = 2A_{осн} + P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр основания равностороннего треугольника: $P_{осн} = 3a$.

$S = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + 3a \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 3ah$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 3a \left(\frac{64}{\sqrt{3}a^2}\right)$.

Упростим выражение:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{192}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{192\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{64\sqrt{3}}{a}$.

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю:

$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 64\sqrt{3}a^{-1}\right) = \sqrt{3}a - 64\sqrt{3}a^{-2} = \sqrt{3}a - \frac{64\sqrt{3}}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$\sqrt{3}a - \frac{64\sqrt{3}}{a^2} = 0$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \ne 0$):

$a - \frac{64}{a^2} = 0$

$a = \frac{64}{a^2}$

$a^3 = 64$

$a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ дм}$.

Проверим, что это точка минимума, с помощью второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da}\left(\sqrt{3}a - 64\sqrt{3}a^{-2}\right) = \sqrt{3} + 128\sqrt{3}a^{-3} = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{a^3}$.

При $a = 4 \text{ дм}$, $S''(4) = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{4^3} = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{64} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} > 0$. Следовательно, это точка минимума.

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \frac{64}{\sqrt{3}a^2} = \frac{64}{\sqrt{3}(4)^2} = \frac{64}{\sqrt{3} \cdot 16} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ дм}$.

Можно рационализировать знаменатель: $h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ дм}$.

Ответ: Длина стороны основания призмы должна быть $4 \text{ дм}$, а высота призмы $-\frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ дм}$.