Номер 485, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

485. После сушки и обжига объем кирпича составляет 75% объема сырого кирпича. Какими должны быть размеры сырого кирпича, если он уменьшается при обжиге в одинаковом отношении, а размеры готового кирпича – $25 \times 12 \times 6 \text{ см}$?

Дано:

$V_{готовый} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Размеры готового кирпича: $L_{готовый} = 25$ см, $W_{готовый} = 12$ см, $H_{готовый} = 6$ см

Перевод в СИ:

$L_{готовый} = 0.25$ м

$W_{готовый} = 0.12$ м

$H_{готовый} = 0.06$ м

Найти:

Размеры сырого кирпича ($L_{сырой}$, $W_{сырой}$, $H_{сырой}$)

Решение:

Пусть объем готового кирпича обозначим как $V_{готовый}$, а объем сырого кирпича — $V_{сырой}$.

Размеры готового кирпича: $L_{готовый}, W_{готовый}, H_{готовый}$.

Размеры сырого кирпича: $L_{сырой}, W_{сырой}, H_{сырой}$.

Объем готового кирпича рассчитывается как произведение его измерений:

$V_{готовый} = L_{готовый} \cdot W_{готовый} \cdot H_{готовый}$

Объем сырого кирпича рассчитывается аналогично:

$V_{сырой} = L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой}$

По условию задачи, объем кирпича после сушки и обжига составляет 75% от объема сырого кирпича:

$V_{готовый} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Также указано, что размеры уменьшаются при обжиге в одинаковом отношении. Пусть этот коэффициент усадки (уменьшения линейных размеров) равен $k$. Так как размеры уменьшаются, $k < 1$.

Тогда линейные размеры готового кирпича будут связаны с размерами сырого кирпича следующим образом:

$L_{готовый} = k \cdot L_{сырой}$

$W_{готовый} = k \cdot W_{сырой}$

$H_{готовый} = k \cdot H_{сырой}$

Подставим эти выражения для размеров готового кирпича в формулу его объема:

$V_{готовый} = (k \cdot L_{сырой}) \cdot (k \cdot W_{сырой}) \cdot (k \cdot H_{сырой})$

$V_{готовый} = k^3 \cdot (L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой})$

Так как $L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой}$ - это объем сырого кирпича $V_{сырой}$, получаем:

$V_{готовый} = k^3 \cdot V_{сырой}$

Теперь мы имеем два выражения для $V_{готовый}$: одно из условия задачи и одно из геометрических соображений. Приравняем их:

$k^3 \cdot V_{сырой} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Поскольку объем сырого кирпича $V_{сырой}$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $V_{сырой}$:

$k^3 = 0.75$

Для нахождения коэффициента $k$, извлечем кубический корень из 0.75:

$k = \sqrt[3]{0.75}$

$k \approx 0.90856$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти размеры сырого кирпича, выразив их из формул линейной усадки:

$L_{сырой} = \frac{L_{готовый}}{k}$

$W_{сырой} = \frac{W_{готовый}}{k}$

$H_{сырой} = \frac{H_{готовый}}{k}$

Подставим известные значения размеров готового кирпича и рассчитанное значение $k$:

$L_{сырой} = \frac{25 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{25}{0.90856} \approx 27.51 \text{ см}$

$W_{сырой} = \frac{12 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{12}{0.90856} \approx 13.21 \text{ см}$

$H_{сырой} = \frac{6 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{6}{0.90856} \approx 6.60 \text{ см}$

Ответ:

Размеры сырого кирпича должны быть приблизительно $27.51 \text{ см} \times 13.21 \text{ см} \times 6.60 \text{ см}$.