Номер 479, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

479. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с ее боковым ребром угол $30^\circ$. Найдите объем этой призмы.

Дано:

Диагональ призмы $d_{max} = 8$ см

Угол между диагональю и боковым ребром $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d_{max} = 8$ см $= 0.08$ м

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$

Решение:

Правильная шестиугольная призма имеет в основании правильный шестиугольник. Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

Наибольшая диагональ призмы соединяет две вершины, расположенные на противоположных основаниях и максимально удаленные друг от друга. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром (высотой призмы $H$) и наибольшей диагональю основания $D_{base}$.

В этом прямоугольном треугольнике диагональ призмы $d_{max}$ является гипотенузой, а боковое ребро $H$ и наибольшая диагональ основания $D_{base}$ являются катетами.

По условию, угол между наибольшей диагональю призмы и ее боковым ребром равен $\alpha = 30^\circ$.

Вычислим высоту призмы $H$:

$H = d_{max} \cdot \cos(\alpha)$

$H = 8 \cdot \cos(30^\circ)$

$H = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$H = 4\sqrt{3}$ см

Вычислим наибольшую диагональ основания $D_{base}$:

$D_{base} = d_{max} \cdot \sin(\alpha)$

$D_{base} = 8 \cdot \sin(30^\circ)$

$D_{base} = 8 \cdot \frac{1}{2}$

$D_{base} = 4$ см

Для правильного шестиугольника наибольшая диагональ основания $D_{base}$ равна удвоенной длине стороны основания $a$:

$D_{base} = 2a$

Отсюда, $a = \frac{D_{base}}{2}$

$a = \frac{4}{2}$

$a = 2$ см

Найдем площадь основания $S_{base}$ правильного шестиугольника со стороной $a$. Формула для площади правильного шестиугольника:

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2)^2$

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4$

$S_{base} = 6\sqrt{3}$ см$^2$

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{base} \cdot H$

$V = (6\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3})$

$V = 24 \cdot (\sqrt{3})^2$

$V = 24 \cdot 3$

$V = 72$ см$^3$

Ответ:

72 см$^3$