Номер 475, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

475. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $8 \text{ дм}^3$. Точки $M$ и $M_1$ – середины ребер $DC$ и $D_1C_1$ соответственно. Найдите объем призмы $ADMA_1D_1M_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Объем куба $V_{куба} = 8$ дм$^3$.

Точка $M$ - середина ребра $DC$.

Точка $M_1$ - середина ребра $D_1C_1$.

Перевод в СИ:

$V_{куба} = 8$ дм$^3 = 8 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем призмы $ADMA_1D_1M_1$.

Решение:

1. Найдем длину ребра куба. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$, где $a$ - длина ребра куба.
Имеем $a^3 = 8$ дм$^3$.
Извлекаем кубический корень: $a = \sqrt[3]{8}$ дм $= 2$ дм.
В системе СИ: $a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

2. Определим основание призмы $ADMA_1D_1M_1$. Основанием этой призмы является треугольник $ADM$.
Высота призмы $h$ равна длине ребра куба, то есть $h = DD_1 = a$.
Треугольник $ADM$ расположен в нижней грани куба $ABCD$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$ в вершине $D$, так как это грани куба. Следовательно, треугольник $ADM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.
Длина катета $AD$ равна длине ребра куба, то есть $AD = a$.
Точка $M$ - середина ребра $DC$, поэтому длина катета $DM$ равна половине длины ребра куба: $DM = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2}$.

3. Вычислим площадь основания призмы $S_{ADM}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM$
$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$.

4. Вычислим объем призмы $ADMA_1D_1M_1$. Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{основания} \cdot h$.
Подставим найденные значения:
$V_{призмы} = \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{4}$.

5. Подставим значение $a = 2$ дм:
$V_{призмы} = \frac{(2 \text{ дм})^3}{4} = \frac{8 \text{ дм}^3}{4} = 2$ дм$^3$.
В системе СИ:
$V_{призмы} = \frac{(0.2 \text{ м})^3}{4} = \frac{0.008 \text{ м}^3}{4} = 0.002 \text{ м}^3$.

Ответ:

Объем призмы $ADMA_1D_1M_1$ равен $2$ дм$^3$.