Номер 476, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

476. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, которая имеет высоту $5\text{ дм}$ и площадь полной поверхности $78\text{ дм}^2$.

Дано:

Призма: правильная четырехугольная призма.

Высота ($h$) = 5 дм.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) = 78 дм$^2$.

Перевод в СИ:

Так как все данные представлены в дециметрах и для решения задачи нет необходимости переводить их в систему СИ, оставим единицы измерения в дециметрах. Объем будет получен в дм$^3$.

Найти:

Объем ($V$) - ?

Решение:

Правильная четырехугольная призма имеет в основании квадрат. Пусть сторона основания равна $a$.

Площадь основания призмы: $S_{осн} = a^2$.

Периметр основания: $P_{осн} = 4a$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2a^2 + 4ah$

Подставим известные значения $S_{полн} = 78$ дм$^2$ и $h = 5$ дм в формулу площади полной поверхности:

$78 = 2a^2 + 4a(5)$

$78 = 2a^2 + 20a$

Разделим все члены уравнения на 2:

$39 = a^2 + 10a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + 10a - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и корней $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coef}}$.

В данном уравнении $a_{coef}=1$, $b=10$, $c=-39$.

Найдем дискриминант:

$D = 10^2 - 4(1)(-39) = 100 + 156 = 256$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{-10 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-10 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, принимаем $a = 3$ дм.

Объем призмы находится по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$.

Подставим найденное значение $a=3$ дм и заданное $h=5$ дм:

$V = a^2 \cdot h = 3^2 \cdot 5$

$V = 9 \cdot 5$

$V = 45$

Таким образом, объем призмы составляет 45 дм$^3$.

Ответ:

45 дм$^3$.