Страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

476. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, которая имеет высоту $5\text{ дм}$ и площадь полной поверхности $78\text{ дм}^2$.

Дано:

Призма: правильная четырехугольная призма.

Высота ($h$) = 5 дм.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) = 78 дм$^2$.

Перевод в СИ:

Так как все данные представлены в дециметрах и для решения задачи нет необходимости переводить их в систему СИ, оставим единицы измерения в дециметрах. Объем будет получен в дм$^3$.

Найти:

Объем ($V$) - ?

Решение:

Правильная четырехугольная призма имеет в основании квадрат. Пусть сторона основания равна $a$.

Площадь основания призмы: $S_{осн} = a^2$.

Периметр основания: $P_{осн} = 4a$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2a^2 + 4ah$

Подставим известные значения $S_{полн} = 78$ дм$^2$ и $h = 5$ дм в формулу площади полной поверхности:

$78 = 2a^2 + 4a(5)$

$78 = 2a^2 + 20a$

Разделим все члены уравнения на 2:

$39 = a^2 + 10a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + 10a - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и корней $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coef}}$.

В данном уравнении $a_{coef}=1$, $b=10$, $c=-39$.

Найдем дискриминант:

$D = 10^2 - 4(1)(-39) = 100 + 156 = 256$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{-10 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-10 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, принимаем $a = 3$ дм.

Объем призмы находится по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$.

Подставим найденное значение $a=3$ дм и заданное $h=5$ дм:

$V = a^2 \cdot h = 3^2 \cdot 5$

$V = 9 \cdot 5$

$V = 45$

Таким образом, объем призмы составляет 45 дм$^3$.

Ответ:

45 дм$^3$.

477. Кирпич имеет размер $25 \times 12 \times 6$ см. Найдите объем стены, выложенной из 10000 кирпичей, с учетом того, что раствор увеличивает объем на 15%.

Дано:

$L = 25 \text{ см}$

$W = 12 \text{ см}$

$H = 6 \text{ см}$

$N = 10000 \text{ шт.}$

$P_{\text{увеличение}} = 15\%$

Перевод в СИ:

$L = 0.25 \text{ м}$

$W = 0.12 \text{ м}$

$H = 0.06 \text{ м}$

$P_{\text{увеличение}} = 0.15$

Найти:

$V_{\text{стены}} - ?$

Решение:

1. Найдем объем одного кирпича:

$V_{\text{кирпича}} = L \times W \times H$

$V_{\text{кирпича}} = 0.25 \text{ м} \times 0.12 \text{ м} \times 0.06 \text{ м}$

$V_{\text{кирпича}} = 0.0018 \text{ м}^3$

2. Найдем общий объем всех кирпичей без учета раствора:

$V_{\text{всех кирпичей}} = N \times V_{\text{кирпича}}$

$V_{\text{всех кирпичей}} = 10000 \times 0.0018 \text{ м}^3$

$V_{\text{всех кирпичей}} = 18 \text{ м}^3$

3. Учтем, что раствор увеличивает объем на 15%. Это означает, что конечный объем стены будет составлять $100\% + 15\% = 115\%$ от объема кирпичей. Чтобы найти этот объем, умножим объем всех кирпичей на коэффициент $1.15$:

$V_{\text{стены}} = V_{\text{всех кирпичей}} \times (1 + P_{\text{увеличение}})$

$V_{\text{стены}} = 18 \text{ м}^3 \times (1 + 0.15)$

$V_{\text{стены}} = 18 \text{ м}^3 \times 1.15$

$V_{\text{стены}} = 20.7 \text{ м}^3$

Ответ: $20.7 \text{ м}^3$

478. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 5 см, а угол между ними $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна $54\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Дано:

Стороны основания: $a = 4 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$
Угол между сторонами основания: $\alpha = 45^\circ$
Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 54\sqrt{2} \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$\alpha = 45^\circ$
$S_{\text{бок}} = 54\sqrt{2} \text{ см}^2 = 54\sqrt{2} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

1. Найдем площадь основания параллелепипеда. Основание прямого параллелепипеда является параллелограммом. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим известные значения:
$S_{\text{осн}} = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot \sin(45^\circ)$
$S_{\text{осн}} = 20 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{\text{осн}} = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

2. Найдем периметр основания параллелепипеда. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P_{\text{осн}} = 2(a+b)$.
$P_{\text{осн}} = 2(4 \text{ см} + 5 \text{ см})$
$P_{\text{осн}} = 2 \cdot 9 \text{ см}$
$P_{\text{осн}} = 18 \text{ см}$

3. Найдем высоту параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$.
Из этой формулы выразим высоту $h$: $h = \frac{S_{\text{бок}}}{P_{\text{осн}}}$.
Подставим известные значения:
$h = \frac{54\sqrt{2} \text{ см}^2}{18 \text{ см}}$
$h = 3\sqrt{2} \text{ см}$

4. Найдем объем параллелепипеда. Объем любого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
Подставим найденные значения площади основания и высоты:
$V = (10\sqrt{2} \text{ см}^2) \cdot (3\sqrt{2} \text{ см})$
$V = 10 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \text{ см}^3$
$V = 30 \cdot 2 \text{ см}^3$
$V = 60 \text{ см}^3$

Ответ:

$V = 60 \text{ см}^3$

479. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с ее боковым ребром угол $30^\circ$. Найдите объем этой призмы.

Дано:

Диагональ призмы $d_{max} = 8$ см

Угол между диагональю и боковым ребром $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d_{max} = 8$ см $= 0.08$ м

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$

Решение:

Правильная шестиугольная призма имеет в основании правильный шестиугольник. Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

Наибольшая диагональ призмы соединяет две вершины, расположенные на противоположных основаниях и максимально удаленные друг от друга. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром (высотой призмы $H$) и наибольшей диагональю основания $D_{base}$.

В этом прямоугольном треугольнике диагональ призмы $d_{max}$ является гипотенузой, а боковое ребро $H$ и наибольшая диагональ основания $D_{base}$ являются катетами.

По условию, угол между наибольшей диагональю призмы и ее боковым ребром равен $\alpha = 30^\circ$.

Вычислим высоту призмы $H$:

$H = d_{max} \cdot \cos(\alpha)$

$H = 8 \cdot \cos(30^\circ)$

$H = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$H = 4\sqrt{3}$ см

Вычислим наибольшую диагональ основания $D_{base}$:

$D_{base} = d_{max} \cdot \sin(\alpha)$

$D_{base} = 8 \cdot \sin(30^\circ)$

$D_{base} = 8 \cdot \frac{1}{2}$

$D_{base} = 4$ см

Для правильного шестиугольника наибольшая диагональ основания $D_{base}$ равна удвоенной длине стороны основания $a$:

$D_{base} = 2a$

Отсюда, $a = \frac{D_{base}}{2}$

$a = \frac{4}{2}$

$a = 2$ см

Найдем площадь основания $S_{base}$ правильного шестиугольника со стороной $a$. Формула для площади правильного шестиугольника:

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2)^2$

$S_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4$

$S_{base} = 6\sqrt{3}$ см$^2$

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{base} \cdot H$

$V = (6\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3})$

$V = 24 \cdot (\sqrt{3})^2$

$V = 24 \cdot 3$

$V = 72$ см$^3$

Ответ:

72 см$^3$

480. В наклонной треугольной призме стороны основания равны 5 м, 6 м и 9 м, а боковое ребро равно 10 м и составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите ее объем.

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 5$ м, $b = 6$ м, $c = 9$ м.

Длина бокового ребра: $L = 10$ м.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

$a = 5$ м

$b = 6$ м

$c = 9$ м

$L = 10$ м

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание является треугольником со сторонами $a=5$ м, $b=6$ м, $c=9$ м. Для вычисления площади используем формулу Герона.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ м

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$ по формуле Герона:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{осн} = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)}$

$S_{осн} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1}$

$S_{осн} = \sqrt{200}$

$S_{осн} = \sqrt{100 \cdot 2}$

$S_{осн} = 10\sqrt{2}$ м$^2$

2. Найдем высоту призмы $H$. Высота наклонной призмы связана с длиной бокового ребра $L$ и углом $\alpha$, который это ребро образует с плоскостью основания, по формуле $H = L \cdot \sin(\alpha)$.

$H = 10 \cdot \sin(45^\circ)$

Известно, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$H = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$H = 5\sqrt{2}$ м

3. Вычислим объем призмы $V$:

$V = S_{осн} \cdot H$

$V = (10\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})$

$V = 10 \cdot 5 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})$

$V = 50 \cdot 2$

$V = 100$ м$^3$

Ответ:

Объем призмы составляет $100$ м$^3$.

481. При рытье котлована, имеющего форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 3 м, было вынуто 25 тонн земли, плотность которой равна $1,8 \cdot 10^3$ кг/$м^3$. Найдите с точностью до 0,1 м глубину котлована.

Дано

Форма котлована: правильная четырехугольная призма

Сторона основания: $a = 3$ м

Масса вынутой земли: $m = 25$ т

Плотность земли: $\rho = 1.8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$

Перевод в СИ

$a = 3$ м

$m = 25$ т $= 25 \cdot 1000$ кг $= 25000$ кг

$\rho = 1.8 \cdot 10^3$ кг/м$^3 = 1800$ кг/м$^3$

Найти:

Глубина котлована: $h$

Решение

Объем вынутой земли $V$ можно найти по формуле, связывающей массу $m$ и плотность $\rho$:

$V = \frac{m}{\rho}$

Так как котлован имеет форму правильной четырехугольной призмы, его основание представляет собой квадрат со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется как:

$S_{осн} = a^2$

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту (глубину котлована $h$):

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$

Приравниваем две формулы для объема:

$a^2 \cdot h = \frac{m}{\rho}$

Выразим из этого уравнения глубину $h$:

$h = \frac{m}{\rho \cdot a^2}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{25000 \text{ кг}}{1800 \text{ кг/м}^3 \cdot (3 \text{ м})^2}$

$h = \frac{25000}{1800 \cdot 9}$

$h = \frac{25000}{16200}$

$h \approx 1.5432$ м

Требуется округлить результат до 0.1 м. Округляем 1.5432 м до одного знака после запятой:

$h \approx 1.5$ м

Ответ:

Глубина котлована составляет 1.5 м.

482. Основание прямого параллелепипеда – ромб, меньшая диагональ которого $4 \text{ см}$, а острый угол $60^\circ$. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна $80\sqrt{3} \text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание прямого параллелепипеда – ромб.

Меньшая диагональ ромба ($d_1$) = 4 см.

Острый угол ромба ($\alpha$) = $60^\circ$.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда ($S_{бок}$) = $80\sqrt{3}$ см$^2$.

Параллелепипед прямой.

Перевод в СИ:

$d_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$S_{бок} = 80\sqrt{3} \text{ см}^2 = 80\sqrt{3} \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 80\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда ($V$)

Решение:

1. Найдем сторону ромба ($a$). Меньшая диагональ ромба ($d_1$) лежит напротив тупого угла ромба. Если острый угол ромба равен $60^\circ$, то тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Этот треугольник равнобедренный с двумя сторонами, равными стороне ромба $a$, и углом $120^\circ$ между ними. По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$ $4^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $16 = 2a^2 + a^2$ $16 = 3a^2$ $a^2 = \frac{16}{3}$ $a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем площадь основания параллелепипеда ($S_{осн}$). Основание - ромб, его площадь можно найти по формуле: $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ - сторона ромба, $\alpha$ - острый угол. $S_{осн} = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \sin(60^\circ)$ $S_{осн} = \left(\frac{16 \cdot 3}{9}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S_{осн} = \frac{16}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S_{осн} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

3. Найдем высоту параллелепипеда ($H$). Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$. $P_{осн} = 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см. Известно, что $S_{бок} = 80\sqrt{3}$ см$^2$. $80\sqrt{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot H$ $H = \frac{80\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}$ $H = \frac{80\sqrt{3} \cdot 3}{16\sqrt{3}}$ $H = \frac{80 \cdot 3}{16}$ $H = 5 \cdot 3$ $H = 15$ см.

4. Найдем объем параллелепипеда ($V$). Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$. $V = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 15$ $V = 8\sqrt{3} \cdot 5$ $V = 40\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ:

Объем параллелепипеда равен $40\sqrt{3}$ см$^3$.

483. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны $a = 12 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$. Ребра, длины которых равны $a$ и $b$, взаимно перпендикулярны, а третье ребро образует с каждым из них угол $\phi = 60^\circ$ (рисунок 165). Найдите объем параллелепипеда.

Рисунок 165

Дано:

$a = 12 \text{ см}$

$b = 7 \text{ см}$

$c = 10 \text{ см}$

Угол между ребром $a$ и ребром $b$: $\gamma = 90^\circ$

Угол между ребром $a$ и ребром $c$: $\beta = 60^\circ$

Угол между ребром $b$ и ребром $c$: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.12 \text{ м}$

$b = 0.07 \text{ м}$

$c = 0.10 \text{ м}$

$\gamma = 90^\circ$

$\beta = 60^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$V$ – объем параллелепипеда

Решение:

Объем параллелепипеда, построенного на трех ребрах $a, b, c$, исходящих из одной вершины, вычисляется по формуле:

$V = abc \sqrt{1 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma}$

где $\alpha$ – угол между ребрами $b$ и $c$, $\beta$ – угол между ребрами $a$ и $c$, $\gamma$ – угол между ребрами $a$ и $b$.

Подставим известные значения углов:

$\cos\alpha = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos\beta = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos\gamma = \cos 90^\circ = 0$

Теперь подставим эти значения в формулу для объема:

$V = abc \sqrt{1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 0^2}$

$V = abc \sqrt{1 + 0 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 0}$

$V = abc \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

$V = abc \sqrt{\frac{1}{2}}$

$V = \frac{abc}{\sqrt{2}}$

Подставим значения длин ребер в метрах:

$V = \frac{0.12 \cdot 0.07 \cdot 0.10}{\sqrt{2}}$

$V = \frac{0.00084}{\sqrt{2}}$

$V = \frac{0.00084 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$V = 0.00042 \sqrt{2} \text{ м}^3$

Для удобства можно перевести объем обратно в кубические сантиметры:

$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 10^6 \text{ см}^3$

$V = 0.00042 \sqrt{2} \cdot 10^6 \text{ см}^3$

$V = 420 \sqrt{2} \text{ см}^3$

Ответ: $420 \sqrt{2} \text{ см}^3$

484. Из прямоугольного листа жести требуется изготовить коробку, вырезая во всех его углах равные квадраты и загибая края жести. Найдите длину стороны такого квадрата, если размеры листа жести $60 \times 70 \text{ см}$, а объем коробки $20 \text{ дм}^3$.

Дано:

Размеры прямоугольного листа жести: $L = 70 \text{ см}$, $W = 60 \text{ см}$

Объем коробки: $V = 20 \text{ дм}^3$

Перевод в СИ:

$L = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

$W = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$V = 20 \text{ дм}^3 = 20 \times (0.1 \text{ м})^3 = 20 \times 0.001 \text{ м}^3 = 0.02 \text{ м}^3$

Найти:

Длину стороны квадрата $x$ (которая является высотой коробки).

Решение:

Пусть $x$ – длина стороны квадрата, вырезаемого из каждого угла листа жести. Эта же длина будет высотой $h$ получившейся коробки. После вырезания квадратов и загибания краев, размеры дна коробки будут:

Длина дна: $l = L - 2x = 0.7 - 2x$ (м)

Ширина дна: $w = W - 2x = 0.6 - 2x$ (м)

Высота коробки: $h = x$ (м)

Объем коробки $V$ выражается формулой:

$V = l \times w \times h$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$(0.7 - 2x)(0.6 - 2x)x = 0.02$

Раскроем скобки:

$(0.42 - 1.4x - 1.2x + 4x^2)x = 0.02$

$(4x^2 - 2.6x + 0.42)x = 0.02$

$4x^3 - 2.6x^2 + 0.42x = 0.02$

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$400x^3 - 260x^2 + 42x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$200x^3 - 130x^2 + 21x - 1 = 0$

Поскольку $x$ – это длина стороны вырезаемого квадрата, то $x$ должна быть положительной. Также, для того чтобы длины сторон дна были положительными, должны выполняться условия:

$0.7 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 0.7 \Rightarrow x < 0.35$

$0.6 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 0.6 \Rightarrow x < 0.3$

Таким образом, $0 < x < 0.3$ (в метрах) или $0 < x < 30$ (в сантиметрах).

Попробуем найти простой десятичный корень (например, соответствующий целому числу сантиметров). Проверим $x = 0.1 \text{ м}$ (что соответствует $10 \text{ см}$):

$200(0.1)^3 - 130(0.1)^2 + 21(0.1) - 1 =$

$200(0.001) - 130(0.01) + 2.1 - 1 =$

$0.2 - 1.3 + 2.1 - 1 = 2.3 - 2.3 = 0$

Таким образом, $x = 0.1 \text{ м}$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $0 < x < 0.3$.

Поскольку $x = 0.1$ является корнем, то $(x - 0.1)$ является множителем многочлена. Выполним деление многочлена $200x^3 - 130x^2 + 21x - 1$ на $(x - 0.1)$ (например, методом Горнера):

$200x^3 - 130x^2 + 21x - 1 = (x - 0.1)(200x^2 - 110x + 10)$

Теперь решим квадратное уравнение $200x^2 - 110x + 10 = 0$. Разделим его на 10:

$20x^2 - 11x + 1 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(20)(1)}}{2(20)}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{40}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{40}$

Таким образом, получаем еще два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{41}}{40}$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{41}}{40}$

Приблизительное значение $\sqrt{41} \approx 6.4031$.

$x_1 \approx \frac{11 + 6.4031}{40} = \frac{17.4031}{40} \approx 0.435 \text{ м}$

Этот корень $x_1 \approx 0.435 \text{ м}$ (или $43.5 \text{ см}$) не удовлетворяет условию $x < 0.3 \text{ м}$ ($43.5 \text{ см} > 30 \text{ см}$). Следовательно, он не является физически возможным решением.

$x_2 \approx \frac{11 - 6.4031}{40} = \frac{4.5969}{40} \approx 0.1149 \text{ м}$

Этот корень $x_2 \approx 0.1149 \text{ м}$ (или $11.49 \text{ см}$) удовлетворяет условию $0 < x < 0.3 \text{ м}$. Следовательно, это второе физически возможное решение.

Ответ:

Длина стороны такого квадрата может быть $10 \text{ см}$ или $\frac{11 - \sqrt{41}}{40} \text{ м} \approx 11.49 \text{ см}$.

485. После сушки и обжига объем кирпича составляет 75% объема сырого кирпича. Какими должны быть размеры сырого кирпича, если он уменьшается при обжиге в одинаковом отношении, а размеры готового кирпича – $25 \times 12 \times 6 \text{ см}$?

Дано:

$V_{готовый} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Размеры готового кирпича: $L_{готовый} = 25$ см, $W_{готовый} = 12$ см, $H_{готовый} = 6$ см

Перевод в СИ:

$L_{готовый} = 0.25$ м

$W_{готовый} = 0.12$ м

$H_{готовый} = 0.06$ м

Найти:

Размеры сырого кирпича ($L_{сырой}$, $W_{сырой}$, $H_{сырой}$)

Решение:

Пусть объем готового кирпича обозначим как $V_{готовый}$, а объем сырого кирпича — $V_{сырой}$.

Размеры готового кирпича: $L_{готовый}, W_{готовый}, H_{готовый}$.

Размеры сырого кирпича: $L_{сырой}, W_{сырой}, H_{сырой}$.

Объем готового кирпича рассчитывается как произведение его измерений:

$V_{готовый} = L_{готовый} \cdot W_{готовый} \cdot H_{готовый}$

Объем сырого кирпича рассчитывается аналогично:

$V_{сырой} = L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой}$

По условию задачи, объем кирпича после сушки и обжига составляет 75% от объема сырого кирпича:

$V_{готовый} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Также указано, что размеры уменьшаются при обжиге в одинаковом отношении. Пусть этот коэффициент усадки (уменьшения линейных размеров) равен $k$. Так как размеры уменьшаются, $k < 1$.

Тогда линейные размеры готового кирпича будут связаны с размерами сырого кирпича следующим образом:

$L_{готовый} = k \cdot L_{сырой}$

$W_{готовый} = k \cdot W_{сырой}$

$H_{готовый} = k \cdot H_{сырой}$

Подставим эти выражения для размеров готового кирпича в формулу его объема:

$V_{готовый} = (k \cdot L_{сырой}) \cdot (k \cdot W_{сырой}) \cdot (k \cdot H_{сырой})$

$V_{готовый} = k^3 \cdot (L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой})$

Так как $L_{сырой} \cdot W_{сырой} \cdot H_{сырой}$ - это объем сырого кирпича $V_{сырой}$, получаем:

$V_{готовый} = k^3 \cdot V_{сырой}$

Теперь мы имеем два выражения для $V_{готовый}$: одно из условия задачи и одно из геометрических соображений. Приравняем их:

$k^3 \cdot V_{сырой} = 0.75 \cdot V_{сырой}$

Поскольку объем сырого кирпича $V_{сырой}$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $V_{сырой}$:

$k^3 = 0.75$

Для нахождения коэффициента $k$, извлечем кубический корень из 0.75:

$k = \sqrt[3]{0.75}$

$k \approx 0.90856$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти размеры сырого кирпича, выразив их из формул линейной усадки:

$L_{сырой} = \frac{L_{готовый}}{k}$

$W_{сырой} = \frac{W_{готовый}}{k}$

$H_{сырой} = \frac{H_{готовый}}{k}$

Подставим известные значения размеров готового кирпича и рассчитанное значение $k$:

$L_{сырой} = \frac{25 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{25}{0.90856} \approx 27.51 \text{ см}$

$W_{сырой} = \frac{12 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{12}{0.90856} \approx 13.21 \text{ см}$

$H_{сырой} = \frac{6 \text{ см}}{\sqrt[3]{0.75}} \approx \frac{6}{0.90856} \approx 6.60 \text{ см}$

Ответ:

Размеры сырого кирпича должны быть приблизительно $27.51 \text{ см} \times 13.21 \text{ см} \times 6.60 \text{ см}$.