Страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ.

Запишите формулу объема: а) пирамиды; б) усеченной пирамиды.

а) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. Формула для вычисления объема пирамиды имеет вид:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $V$ — это объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь ее основания, а $h$ — высота пирамиды.

Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

б) Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле, которая связывает высоту и площади двух оснований. Объем равен одной трети произведения высоты на сумму площадей верхнего и нижнего оснований и среднего геометрического этих площадей.

$V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})$

где $V$ — это объем усеченной пирамиды, $h$ — ее высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Ответ: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})$

492. a) Из одного металла изготовлены две детали в форме пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты. Равны ли массы деталей?

б) Правильная $n$-угольная пирамида пересечена плоскостью, содержащей ее высоту. Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

a) Из одного металла изготовлены две детали в форме пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты. Равны ли массы деталей?

Дано:

Две детали в форме пирамид.

Детали изготовлены из одного металла (плотность $\rho$ одинакова для обеих деталей).

Площади оснований равны: $S_1 = S_2 = S_{осн}$.

Высоты равны: $h_1 = h_2 = h$.

Найти:

Равны ли массы деталей ($m_1$ и $m_2$)?

Решение:

Масса $m$ детали связана с её плотностью $\rho$ и объемом $V$ формулой: $m = \rho V$.

Поскольку обе детали изготовлены из одного и того же металла, их плотности равны: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для первой детали объем: $V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$.

Для второй детали объем: $V_2 = \frac{1}{3} S_2 h_2$.

Согласно условию задачи, площади оснований равны ($S_1 = S_2$) и высоты равны ($h_1 = h_2$).

Следовательно, подставляя эти равенства в формулы объемов, получаем:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$

$V_2 = \frac{1}{3} S_1 h_1$

Таким образом, объемы обеих деталей равны: $V_1 = V_2$.

Теперь выразим массы деталей:

$m_1 = \rho V_1$

$m_2 = \rho V_2$

Поскольку $\rho$ и $V$ для обеих деталей одинаковы, то их массы также равны: $m_1 = m_2$.

Ответ: Да, массы деталей равны.

b) Правильная $n$-угольная пирамида пересечена плоскостью, содержащей ее высоту. Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

Дано:

Правильная $n$-угольная пирамида.

Пирамида пересечена плоскостью, содержащей её высоту.

Найти:

Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

Решение:

В правильной $n$-угольной пирамиде высота опускается из вершины в центр основания.

Плоскость, содержащая высоту пирамиды, обязательно проходит через вершину пирамиды и через центр её основания.

Любая прямая, проходящая через центр правильного $n$-угольника, делит его на две равновеликие (то есть, имеющие одинаковую площадь) части. Пусть $S_{осн}$ — площадь основания исходной пирамиды. Тогда плоскость делит основание на две части с площадями $S_1'$ и $S_2'$, при этом $S_1' = S_2' = \frac{1}{2} S_{осн}$.

Каждый из двух многогранников, образовавшихся в результате сечения, можно рассматривать как пирамиду с общей вершиной (вершиной исходной пирамиды) и соответствующими частями основания в качестве своих оснований ($S_1'$ и $S_2'$). Высота $h$ у этих двух многогранников будет общей и равной высоте исходной пирамиды.

Объем первого многогранника $V_1'$ равен: $V_1' = \frac{1}{3} S_1' h$.

Объем второго многогранника $V_2'$ равен: $V_2' = \frac{1}{3} S_2' h$.

Так как $S_1' = S_2'$ и высота $h$ для обоих многогранников одинакова, то их объемы также равны: $V_1' = V_2'$.

Ответ: Да, объемы многогранников равны.

493. Найдите объем правильной $n$-угольной пирамиды, каждое ребро которой равно $a$, если:

а) $n = 4$;

б) $n = 3$.

Правильная $n$-угольная пирамида.

Длина каждого ребра (стороны основания и бокового ребра) равна $a$.

Длина ребра $a$ является величиной длины. В системе СИ единицей измерения длины является метр (м). Соответственно, объем будет измеряться в кубических метрах (м³).

Объем $V$ пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная, основанием является правильный $n$-угольник со стороной $a$. Все боковые ребра также равны $a$. Высота правильной пирамиды опускается в центр описанной окружности основания.

Найдем радиус $R$ описанной окружности около правильного $n$-угольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$.

Высоту $h$ пирамиды найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром ($a$), радиусом описанной окружности основания ($R$) и высотой пирамиды ($h$):

$h^2 + R^2 = a^2$

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\right)^2} = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{1}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}\right)} = a \sqrt{\frac{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$.

Площадь $S_{осн}$ правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$.

Теперь подставим $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$

$V = \frac{n a^3}{24 \tan(\frac{\pi}{n}) \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$

Используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получим:

$V = \frac{n a^3 \cos(\frac{\pi}{n})}{24 \sin^2(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$.

Рассмотрим конкретные случаи:

В этом случае основанием является квадрат со стороной $a$.

Площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Радиус описанной окружности основания $R$: диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, поэтому $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $h$:

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

В этом случае основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Радиус описанной окружности основания $R$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Высота пирамиды $h$:

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

494. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 6 см, а тангенс двугранного угла при ребре основания равен $ \frac{15}{8} $.

Дано:

высота пирамиды $H = 6 \text{ см}$

тангенс двугранного угла при ребре основания $\tan(\alpha) = \frac{15}{8}$

Найти:

объем пирамиды $V$

Решение:

Пусть правильная четырехугольная пирамида имеет высоту $H$ и сторону основания $a$. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ - площадь основания.

Для квадратного основания площадь $S_{base} = a^2$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H$.

Двугранный угол при ребре основания пирамиды - это угол между боковой гранью и основанием. Если провести апофему боковой грани (высоту боковой грани, опущенную на ребро основания) и апофему основания (расстояние от центра основания до середины ребра основания), то эти две линии вместе с высотой пирамиды образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• один катет - это высота пирамиды $H$
• второй катет - это апофема основания, которая для квадрата равна половине его стороны, то есть $r = \frac{a}{2}$
• гипотенуза - это апофема боковой грани

Тангенс двугранного угла $\alpha$ в этом прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (апофеме основания $r$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Подставим $r = \frac{a}{2}$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{a/2} = \frac{2H}{a}$

Нам дано $\tan(\alpha) = \frac{15}{8}$ и $H = 6 \text{ см}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{15}{8} = \frac{2 \cdot 6}{a}$

$\frac{15}{8} = \frac{12}{a}$

Теперь найдем $a$:

$15a = 12 \cdot 8$

$15a = 96$

$a = \frac{96}{15}$

$a = \frac{32}{5} = 6.4 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь основания $S_{base}$:

$S_{base} = a^2 = (6.4)^2 = 40.96 \text{ см}^2$

Наконец, вычислим объем пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 40.96 \cdot 6$

$V = 40.96 \cdot 2$

$V = 81.92 \text{ см}^3$

Ответ:

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $81.92 \text{ см}^3$.

495. Найдите ребро основания правильной треугольной пирамиды, если ее объем равен $9\text{ дм}^3$, а двугранный угол при ребре основания $45^\circ$.

Дано:

Пирамида: правильная треугольная

Объем пирамиды $V = 9 \text{ дм}^3$

Двугранный угол при ребре основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$V = 9 \text{ дм}^3 = 9 \times (10^{-1} \text{ м})^3 = 9 \times 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.009 \text{ м}^3$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Ребро основания $a$.

Решение:

Пусть ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $a$.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды (равностороннего треугольника) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Радиус вписанной окружности в основание (который является апофемой основания, то есть расстоянием от центра основания до середины стороны) для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Высота пирамиды $h$, апофема основания $r$ и апофема боковой грани $l_a$ образуют прямоугольный треугольник. Двугранный угол при ребре основания $\alpha$ – это угол между апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани $l_a$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $\tan \alpha = \frac{h}{r}$

Так как $\alpha = 45^\circ$, то $\tan 45^\circ = 1$.

Следовательно, $h = r$.

Подставляем выражение для $r$: $h = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$

Подставляем выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) \left( \frac{a \sqrt{3}}{6} \right)$

$V = \frac{a^2 \sqrt{3} \cdot a \sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 6}$

$V = \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^2}{72}$

$V = \frac{a^3 \cdot 3}{72}$

$V = \frac{a^3}{24}$

Теперь выразим $a^3$: $a^3 = 24V$

Подставим значение объема $V = 0.009 \text{ м}^3$: $a^3 = 24 \times 0.009 \text{ м}^3$

$a^3 = 0.216 \text{ м}^3$

Извлекаем кубический корень: $a = \sqrt[3]{0.216} \text{ м}$

$a = 0.6 \text{ м}$

Переведем ответ обратно в дециметры, так как исходные данные были в дециметрах: $a = 0.6 \text{ м} = 0.6 \times 10 \text{ дм} = 6 \text{ дм}$

Ответ:

Ребро основания равно 6 дм.