Страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

511. Из одного металла изготавливаются неравные детали формы усеченных пирамид, имеющих равные суммы площадей оснований и равные высоты. Равны ли массы этих деталей? Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Дано:

Детали изготовлены из одного металла, следовательно, их плотность $\rho$ одинакова.

Детали имеют форму усеченных пирамид.

Сумма площадей оснований $S_1 + S_2 = \text{const}$ (обозначим ее как $S_{\text{sum}}$).

Высота $h = \text{const}$.

Найти:

1. Равны ли массы этих деталей?

2. Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Решение

Равны ли массы этих деталей?

Масса детали $m$ связана с ее объемом $V$ и плотностью $\rho$ соотношением $m = \rho V$. Поскольку все детали изготовлены из одного металла, плотность $\rho$ для них одинакова. Следовательно, для определения равенства масс необходимо определить равенство объемов деталей.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

Согласно условию задачи, высота $h$ является постоянной величиной для всех деталей. Также сумма площадей оснований $S_1 + S_2$ является постоянной величиной, которую мы обозначили как $S_{\text{sum}}$. Подставляя $S_{\text{sum}}$ в формулу объема, получаем:

$V = \frac{1}{3}h(S_{\text{sum}} + \sqrt{S_1 S_2})$

Из этой формулы видно, что объем $V$ зависит от произведения площадей оснований $S_1 S_2$. Условие "неравные детали" при сохранении постоянной суммы площадей оснований $S_1 + S_2$ позволяет $S_1$ и $S_2$ принимать различные значения. Например, если $S_{\text{sum}} = 10$, то могут быть пары $(S_1, S_2)$ такие как $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$ и $(5, 5)$.

Рассмотрим произведения $S_1 S_2$ для этих пар:

Для $(1, 9)$: $S_1 S_2 = 1 \cdot 9 = 9$

Для $(2, 8)$: $S_1 S_2 = 2 \cdot 8 = 16$

Для $(3, 7)$: $S_1 S_2 = 3 \cdot 7 = 21$

Для $(4, 6)$: $S_1 S_2 = 4 \cdot 6 = 24$

Для $(5, 5)$: $S_1 S_2 = 5 \cdot 5 = 25$

Как видно из примеров, произведение $S_1 S_2$ не является постоянной величиной, хотя сумма $S_1 + S_2$ постоянна. Следовательно, $\sqrt{S_1 S_2}$ также не будет постоянной величиной. Это означает, что объемы $V$ разных деталей (при одинаковой $S_{\text{sum}}$ и $h$) будут различаться, а значит, будут различаться и их массы.

Ответ: Нет, массы этих деталей, как правило, не равны, поскольку объем усеченной пирамиды зависит от произведения площадей оснований, которое может меняться при постоянной сумме площадей оснований.

Можно ли изготовить такую деталь с наибольшей массой?

Чтобы изготовить деталь с наибольшей массой, необходимо максимизировать ее объем $V$. Формула объема:

$V = \frac{1}{3}h(S_{\text{sum}} + \sqrt{S_1 S_2})$

Поскольку $h$ и $S_{\text{sum}}$ являются постоянными величинами, для максимизации объема $V$ необходимо максимизировать выражение $\sqrt{S_1 S_2}$, что равносильно максимизации произведения $S_1 S_2$.

У нас есть два положительных числа $S_1$ и $S_2$, сумма которых $S_1 + S_2 = S_{\text{sum}}$ является постоянной. Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM inequality), для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство достигается, когда $a=b$.

Применяя это неравенство к $S_1$ и $S_2$:

$\frac{S_1 + S_2}{2} \ge \sqrt{S_1 S_2}$

Подставляем $S_1 + S_2 = S_{\text{sum}}$:

$\frac{S_{\text{sum}}}{2} \ge \sqrt{S_1 S_2}$

Возводим обе стороны в квадрат:

$\left(\frac{S_{\text{sum}}}{2}\right)^2 \ge S_1 S_2$

Максимальное значение произведения $S_1 S_2$ достигается, когда $S_1 = S_2$. В этом случае $S_1 = S_2 = \frac{S_{\text{sum}}}{2}$.

Таким образом, наибольший объем (и, следовательно, наибольшая масса) детали будет достигнут, когда площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды равны.

Ответ: Да, можно изготовить такую деталь с наибольшей массой. Это достигается, когда площади обоих оснований усеченной пирамиды равны ($S_1 = S_2$).

512. Объем усеченной треугольной пирамиды равен $V$, а отношение площадей ее оснований равно 4. Через сторону верхнего основания проведена секущая плоскость, параллельная противоположному ребру.

а) Найдите объем каждого из многогранников, на которые делит эту усеченную пирамиду ее сечение указанной плоскостью.

б) Докажите, что отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента их подобия.

Дано

Объем усеченной треугольной пирамиды равен $V$.

Отношение площадей ее оснований: $\frac{S_2}{S_1} = 4$, где $S_1$ — площадь верхнего основания, $S_2$ — площадь нижнего основания.

Секущая плоскость проведена через сторону верхнего основания параллельно противоположному ребру.

Перевод в СИ

Данные представлены в символьном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

а) Объем каждого из многогранников, на которые делится усеченная пирамида ее сечение указанной плоскостью.

б) Доказательство, что отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента их подобия.

Решение

а) Найдите объем каждого из многогранников, на которые делит эту усеченную пирамиду ее сечение указанной плоскостью.

Пусть $h$ - высота усеченной пирамиды. Объем усеченной пирамиды $V$ выражается формулой:$V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

Согласно условию, $\frac{S_2}{S_1} = 4$. Пусть $S_1 = S$. Тогда $S_2 = 4S$.Подставим эти значения в формулу объема усеченной пирамиды:$V = \frac{h}{3}(S + 4S + \sqrt{S \cdot 4S}) = \frac{h}{3}(5S + \sqrt{4S^2}) = \frac{h}{3}(5S + 2S) = \frac{7}{3}Sh$Отсюда мы можем выразить произведение $Sh$:$Sh = \frac{3}{7}V$

Обозначим верхнее основание усеченной пирамиды как $\triangle A_1B_1C_1$ (площадь $S_1$) и нижнее основание как $\triangle A_2B_2C_2$ (площадь $S_2$). Секущая плоскость проходит через сторону $A_1B_1$ верхнего основания и параллельна боковому ребру $C_1C_2$.

Эта плоскость пересечет боковые грани $A_1A_2C_2C_1$ и $B_1B_2C_2C_1$. Пусть точки пересечения с ребрами $A_2C_2$ и $B_2C_2$ будут $D_2$ и $E_2$ соответственно.

Поскольку плоскость параллельна ребру $C_1C_2$, отрезки $A_1D_2$ и $B_1E_2$ также параллельны $C_1C_2$.Из этого следует, что $A_1D_2C_2C_1$ является параллелограммом, так как $A_1C_1 \parallel D_2C_2$ (основания пирамиды параллельны) и $A_1D_2 \parallel C_1C_2$. Следовательно, $D_2C_2 = A_1C_1$.Аналогично, $B_1E_2C_2C_1$ является параллелограммом, и $E_2C_2 = B_1C_1$.

Так как $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ подобны, и отношение их площадей $S_2/S_1 = 4$, коэффициент подобия линейных размеров равен $k = \sqrt{4} = 2$.Это означает, что $A_2C_2 = 2A_1C_1$ и $B_2C_2 = 2B_1C_1$.Поскольку $D_2C_2 = A_1C_1$, то $D_2$ является серединой ребра $A_2C_2$. Аналогично, $E_2$ является серединой ребра $B_2C_2$.

Отрезок $D_2E_2$ является средней линией $\triangle A_2B_2C_2$, поэтому $D_2E_2 = \frac{1}{2}A_2B_2$.Поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle A_2B_2C_2$ с коэффициентом подобия $1/2$, то $A_1B_1 = \frac{1}{2}A_2B_2$.Таким образом, $D_2E_2 = A_1B_1$.

Из равенств $D_2C_2 = A_1C_1$, $E_2C_2 = B_1C_1$ и $D_2E_2 = A_1B_1$ следует, что $\triangle D_2E_2C_2$ конгруэнтен $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, площадь $\triangle D_2E_2C_2$ также равна $S_1$.

Секущая плоскость $A_1B_1E_2D_2$ делит усеченную пирамиду на два многогранника:

1. Треугольная призма $A_1B_1C_1 - D_2E_2C_2$. Основаниями этой призмы являются треугольники $A_1B_1C_1$ и $D_2E_2C_2$, которые параллельны и конгруэнтны (площадь каждого $S_1$). Боковые ребра призмы $A_1D_2, B_1E_2, C_1C_2$ параллельны друг другу и равны высоте усеченной пирамиды $h$. Объем этой призмы $V_1 = S_1 h$. Используя ранее полученное соотношение $Sh = \frac{3}{7}V$: $V_1 = \frac{3}{7}V$

2. Второй многогранник - это оставшаяся часть усеченной пирамиды: $A_1B_1E_2D_2A_2B_2$. Объем этой части $V_2$ находится как разность между объемом всей усеченной пирамиды и объемом призмы: $V_2 = V - V_1 = V - \frac{3}{7}V = \frac{4}{7}V$

Ответ: Объем первого многогранника (треугольной призмы) равен $\frac{3}{7}V$. Объем второго многогранника (оставшейся части) равен $\frac{4}{7}V$.

б) Докажите, что отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента их подобия.

Пусть у нас есть два подобных многогранника $P_1$ и $P_2$. Пусть $k$ - коэффициент их подобия. Это означает, что любая линейная длина в многограннике $P_2$ в $k$ раз больше соответствующей линейной длины в многограннике $P_1$. Например, если $l_1$ - длина какого-либо ребра в $P_1$, то $l_2 = k l_1$ - длина соответствующего ребра в $P_2$.

Площади соответствующих граней подобных многогранников пропорциональны квадрату коэффициента подобия: $S_2 = k^2 S_1$.

Любой многогранник может быть разбит на конечное число тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть многогранник $P_1$ разбит на $N$ тетраэдров с объемами $v_{1,1}, v_{1,2}, ..., v_{1,N}$. Общий объем $P_1$ равен $V_1 = \sum_{i=1}^N v_{1,i}$.

При преобразовании подобия с коэффициентом $k$, каждый тетраэдр в $P_1$ преобразуется в подобный ему тетраэдр в $P_2$. Объем тетраэдра вычисляется по формуле $V_{тетраэдр} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{выс}$.Если все линейные размеры тетраэдра увеличиваются в $k$ раз, то площадь его основания увеличится в $k^2$ раз, а высота - в $k$ раз. Следовательно, объем каждого тетраэдра $v_{2,i}$ в $P_2$ будет равен $k^2 \cdot k \cdot v_{1,i} = k^3 v_{1,i}$.

Общий объем многогранника $P_2$ будет равен сумме объемов всех таких увеличенных тетраэдров:$V_2 = \sum_{i=1}^N v_{2,i} = \sum_{i=1}^N (k^3 v_{1,i})$Вынесем $k^3$ за знак суммы:$V_2 = k^3 \sum_{i=1}^N v_{1,i}$Поскольку $\sum_{i=1}^N v_{1,i}$ - это общий объем многогранника $P_1$ ($V_1$), получаем:$V_2 = k^3 V_1$

Таким образом, отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента их подобия:$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Ответ: Доказано.