Страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

486. a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 6 см и 8 см, а угол между ними $60^\circ$.

б) Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, периметр основания которого равен 16 см, площадь поверхности равна $168 \text{ см}^2$, а объем равен $108 \text{ см}^3$.

a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $a, b, c$.

Диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины: $d_1 = 6 \text{ см}$, $d_2 = 8 \text{ см}$.

Угол между диагоналями: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Объем $V$

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут $a, b, c$. Рассмотрим вершину, из которой выходят три ребра длиной $a, b, c$. Диагонали боковых граней, выходящие из этой вершины, будут иметь длины $\sqrt{a^2 + c^2}$ и $\sqrt{b^2 + c^2}$ (при условии, что $c$ - высота). Третья сторона треугольника, образованного этими двумя диагоналями, является диагональю основания, имеющей длину $\sqrt{a^2 + b^2}$.

По условию, $d_1 = \sqrt{a^2 + c^2} = 6$ и $d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = 8$.

Применим теорему косинусов для треугольника, образованного диагоналями $d_1$, $d_2$ и диагональю основания $\sqrt{a^2 + b^2}$. Угол между $d_1$ и $d_2$ равен $60^\circ$.

$(\sqrt{a^2 + b^2})^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos \alpha$

$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 + b^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 + b^2 = 100 - 48$

$a^2 + b^2 = 52$

Мы имеем систему уравнений:

1) $a^2 + c^2 = 36$

2) $b^2 + c^2 = 64$

3) $a^2 + b^2 = 52$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 64 - 36$

$b^2 - a^2 = 28$

Теперь решим систему из полученного уравнения и уравнения (3):

A) $a^2 + b^2 = 52$

B) $-a^2 + b^2 = 28$

Сложим уравнения (A) и (B):

$(a^2 + b^2) + (-a^2 + b^2) = 52 + 28$

$2b^2 = 80$

$b^2 = 40 \Rightarrow b = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Подставим $b^2 = 40$ в уравнение (A):

$a^2 + 40 = 52$

$a^2 = 12 \Rightarrow a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Подставим $a^2 = 12$ в уравнение (1):

$12 + c^2 = 36$

$c^2 = 24 \Rightarrow c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Теперь вычислим объем прямоугольного параллелепипеда $V = abc$:

$V = (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{6})$

$V = 8 \sqrt{3 \cdot 10 \cdot 6}$

$V = 8 \sqrt{180}$

$V = 8 \sqrt{36 \cdot 5}$

$V = 8 \cdot 6 \sqrt{5}$

$V = 48\sqrt{5} \text{ см}^3$

Ответ: $48\sqrt{5} \text{ см}^3$

б) Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, периметр основания которого равен 16 см, площадь поверхности равна 168 см², а объем равен 108 см³.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $a, b, c$.

Периметр основания $P_{осн} = 16 \text{ см}$

Площадь поверхности $S = 168 \text{ см}^2$

Объем $V = 108 \text{ см}^3$

Перевод в СИ:

$P_{осн} = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$S = 168 \text{ см}^2 = 0.0168 \text{ м}^2$

$V = 108 \text{ см}^3 = 0.000108 \text{ м}^3$

Найти:

Диагональ параллелепипеда $D$

Решение:

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Периметр основания: $P_{осн} = 2(a+b)$

Площадь поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$

Объем: $V = abc$

Диагональ параллелепипеда: $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Из данных условий получаем систему уравнений:

1) $2(a+b) = 16 \Rightarrow a+b = 8$

2) $2(ab + ac + bc) = 168 \Rightarrow ab + ac + bc = 84$

3) $abc = 108$

Из уравнения (2) выразим $ab$:

$ab + c(a+b) = 84$

Подставим $a+b=8$ из уравнения (1):

$ab + 8c = 84 \Rightarrow ab = 84 - 8c$

Теперь подставим это выражение для $ab$ в уравнение (3):

$(84 - 8c)c = 108$

$84c - 8c^2 = 108$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 4:

$8c^2 - 84c + 108 = 0$

$2c^2 - 21c + 27 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $c$ с помощью дискриминанта:

$c = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

$c = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 216}}{4}$

$c = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{4}$

$c = \frac{21 \pm 15}{4}$

Два возможных значения для $c$:

$c_1 = \frac{21 + 15}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$c_2 = \frac{21 - 15}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Рассмотрим первый случай: $c = 9 \text{ см}$.

Найдем $ab$: $ab = 84 - 8c = 84 - 8 \cdot 9 = 84 - 72 = 12$.

Теперь у нас есть система для $a$ и $b$:

$a+b = 8$

$ab = 12$

Можно составить квадратное уравнение $x^2 - (a+b)x + ab = 0$:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

Следовательно, $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Таким образом, измерения основания $a$ и $b$ равны $2 \text{ см}$ и $6 \text{ см}$ (порядок не важен).

Размеры параллелепипеда: $2 \text{ см}, 6 \text{ см}, 9 \text{ см}$.

Проверим эти значения: $P_{осн} = 2(2+6) = 16 \text{ см}$ (верно), $V = 2 \cdot 6 \cdot 9 = 108 \text{ см}^3$ (верно), $S = 2(2 \cdot 6 + 2 \cdot 9 + 6 \cdot 9) = 2(12 + 18 + 54) = 2(84) = 168 \text{ см}^2$ (верно).

Рассмотрим второй случай: $c = 1.5 \text{ см}$.

Найдем $ab$: $ab = 84 - 8c = 84 - 8 \cdot 1.5 = 84 - 12 = 72$.

Составим квадратное уравнение для $a$ и $b$:

$x^2 - 8x + 72 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 64 - 288 = -224$.

Так как дискриминант отрицательный, действительных решений для $a$ и $b$ не существует. Следовательно, этот случай не соответствует реальному прямоугольному параллелепипеду.

Таким образом, измерения параллелепипеда: $a=2 \text{ см}, b=6 \text{ см}, c=9 \text{ см}$.

Найдем диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$:

$D = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2}$

$D = \sqrt{4 + 36 + 81}$

$D = \sqrt{40 + 81}$

$D = \sqrt{121}$

$D = 11 \text{ см}$

Ответ: $11 \text{ см}$

487. В треугольной призме расстояния между боковыми ребрами 37 см, 13 см и 30 см, а площадь ее боковой поверхности равна $480 \, см^2$.

Найдите объем призмы.

Дано:

стороны основания треугольной призмы: $a = 37$ см, $b = 13$ см, $c = 30$ см

площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 480$ см$^2$

Перевод в СИ:

$a = 37$ см $= 0.37$ м

$b = 13$ см $= 0.13$ м

$c = 30$ см $= 0.30$ м

$S_{\text{бок}} = 480$ см$^2 = 0.048$ м$^2$

Найти:

объем призмы $V$

Решение:

1. Найдем периметр основания треугольной призмы:

$P_{\text{осн}} = a + b + c$

$P_{\text{осн}} = 37 + 13 + 30 = 80$ см

2. Используем формулу площади боковой поверхности призмы $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$, где $h$ - высота призмы (длина бокового ребра). Выразим $h$:

$h = \frac{S_{\text{бок}}}{P_{\text{осн}}}$

$h = \frac{480}{80} = 6$ см

3. Найдем полупериметр основания для использования формулы Герона:

$s = \frac{P_{\text{осн}}}{2}$

$s = \frac{80}{2} = 40$ см

4. Вычислим площадь основания $A_{\text{осн}}$ по формуле Герона:

$A_{\text{осн}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$A_{\text{осн}} = \sqrt{40(40-37)(40-13)(40-30)}$

$A_{\text{осн}} = \sqrt{40 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10}$

$A_{\text{осн}} = \sqrt{32400}$

$A_{\text{осн}} = 180$ см$^2$

5. Найдем объем призмы $V = A_{\text{осн}} \cdot h$:

$V = 180 \cdot 6 = 1080$ см$^3$

Ответ:

объем призмы составляет $1080$ см$^3$.

488. Площадь одной из боковых граней треугольной призмы равна $Q$, а расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим ей боковым ребром равно $d$. Найдите объем этой призмы.

Дано

$Q$ — площадь одной из боковых граней треугольной призмы.

$d$ — расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим ей боковым ребром.

Найти:

$V$ — объем призмы.

Решение

Рассмотрим треугольную призму. Пусть $H$ будет высотой призмы (перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований).

Пусть $a$ — длина стороны основания, соответствующей выбранной боковой грани. Боковая грань является параллелограммом (или прямоугольником для прямой призмы). Площадь этой боковой грани $Q$ может быть выражена как произведение длины стороны основания на высоту призмы, если призма является прямой, или если боковая грань перпендикулярна основанию.

Для большинства задач школьного курса геометрии, если не указано иное, предполагается, что высота боковой грани, опирающейся на сторону основания, равна высоте самой призмы. Таким образом:

$Q = a \cdot H$

Отсюда выразим высоту призмы $H$ через $Q$ и $a$:

$H = \frac{Q}{a}$

Расстояние $d$ между плоскостью выбранной боковой грани и противолежащим ей боковым ребром является высотой треугольного основания. Точнее, если боковая грань образована стороной $a$ основания, то противолежащее ей боковое ребро соединяет вершину основания, не лежащую на стороне $a$, с соответствующей вершиной верхнего основания. Расстояние от этой вершины до стороны $a$ в плоскости основания как раз и является высотой $h_a$ треугольного основания, проведенной к стороне $a$. Таким образом:

$d = h_a$

Площадь основания призмы $S_{осн}$ (треугольника) можно выразить через сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к этой стороне:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Подставим $h_a = d$ в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d$

Объем призмы $V$ находится по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$.

Подставим полученные выражения для $S_{осн}$ и $H$:

$V = \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot d\right) \cdot \left(\frac{Q}{a}\right)$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot d$

Ответ:

Объем призмы равен $V = \frac{1}{2} Q d$.

уровень С

489. а) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметры двух его смежных боковых граней равны 16 см и 24 см.

б) Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем, если стороны его основания относятся как 3 : 5, а периметр меньшей боковой грани равен 36 см.

a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметры двух его смежных боковых граней равны 16 см и 24 см.

Дано

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $l, w, h$ соответственно.
Периметр первой смежной боковой грани: $P_1 = 2(l+h) = 16 \text{ см}$
Периметр второй смежной боковой грани: $P_2 = 2(w+h) = 24 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$P_2 = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$, при котором площадь боковой поверхности $S_{бок}$ максимальна.

Решение

Из данных периметров граней выразим $l$ и $w$ через $h$:
$2(l+h) = 16 \Rightarrow l+h = 8 \Rightarrow l = 8-h$
$2(w+h) = 24 \Rightarrow w+h = 12 \Rightarrow w = 12-h$

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда выражается формулой:
$S_{бок} = 2(l+w)h$

Подставим выражения для $l$ и $w$ в формулу $S_{бок}$:
$S_{бок}(h) = 2((8-h) + (12-h))h$
$S_{бок}(h) = 2(20-2h)h$
$S_{бок}(h) = (40-4h)h$
$S_{бок}(h) = 40h - 4h^2$

Чтобы найти максимальное значение $S_{бок}(h)$, найдем производную функции по $h$ и приравняем ее к нулю:
$\frac{dS_{бок}}{dh} = \frac{d}{dh}(40h - 4h^2) = 40 - 8h$

Приравняем производную к нулю:
$40 - 8h = 0$
$8h = 40$
$h = 5 \text{ см}$

Проверим, что это максимум, с помощью второй производной:
$\frac{d^2S_{бок}}{dh^2} = \frac{d}{dh}(40 - 8h) = -8$
Поскольку вторая производная отрицательна ($-8 < 0$), при $h=5$ см функция $S_{бок}$ достигает своего максимума.

Теперь найдем значения $l$ и $w$:
$l = 8-h = 8-5 = 3 \text{ см}$
$w = 12-h = 12-5 = 7 \text{ см}$

Все измерения положительны, что является физически допустимым результатом.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен:
$V = lwh$
$V = 3 \text{ см} \times 7 \text{ см} \times 5 \text{ см}$
$V = 105 \text{ см}^3$

Ответ: 105 см$^3$

б) Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем, если стороны его основания относятся как $3 : 5$, а периметр меньшей боковой грани равен 36 см.

Дано

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.
Отношение сторон основания: $a:b = 3:5$
Периметр меньшей боковой грани: $P_{min\_бок} = 36 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P_{min\_бок} = 36 \text{ см} = 0.36 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$, при котором объем параллелепипеда $V$ максимален.

Решение

Из отношения сторон основания $a:b = 3:5$ можно записать $a = 3k$ и $b = 5k$ для некоторого положительного коэффициента $k$.

Боковые грани имеют размеры $(a \times h)$ и $(b \times h)$. Поскольку $a < b$ (так как $3k < 5k$), меньшая боковая грань имеет стороны $a$ и $h$.

Периметр меньшей боковой грани: $2(a+h) = 36 \text{ см}$
$2(3k+h) = 36$
$3k+h = 18$
Выразим $h$ через $k$:
$h = 18-3k$

Объем прямоугольного параллелепипеда:
$V = abh$
Подставим $a=3k$, $b=5k$ и $h=18-3k$ в формулу объема:
$V(k) = (3k)(5k)(18-3k)$
$V(k) = 15k^2(18-3k)$
$V(k) = 270k^2 - 45k^3$

Чтобы найти максимальное значение $V(k)$, найдем производную функции по $k$ и приравняем ее к нулю:
$\frac{dV}{dk} = \frac{d}{dk}(270k^2 - 45k^3) = 540k - 135k^2$

Приравняем производную к нулю:
$540k - 135k^2 = 0$
$135k(4-k) = 0$

Возможные значения $k$: $k=0$ или $k=4$.
$k=0$ приводит к нулевым размерам и объему, что не является максимумом. Следовательно, $k=4$.

Проверим, что это максимум, с помощью второй производной:
$\frac{d^2V}{dk^2} = \frac{d}{dk}(540k - 135k^2) = 540 - 270k$
При $k=4$:
$\frac{d^2V}{dk^2} = 540 - 270(4) = 540 - 1080 = -540$
Поскольку вторая производная отрицательна ($-540 < 0$), при $k=4$ функция $V$ достигает своего максимума.

Теперь найдем значения сторон основания и высоты:
$a = 3k = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$
$b = 5k = 5 \times 4 = 20 \text{ см}$
$h = 18-3k = 18 - 3 \times 4 = 18 - 12 = 6 \text{ см}$

Все измерения положительны.

Требуется найти площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)h$
$S_{бок} = 2(12 \text{ см} + 20 \text{ см}) \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 2(32 \text{ см}) \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 64 \text{ см} \times 6 \text{ см}$
$S_{бок} = 384 \text{ см}^2$

Ответ: 384 см$^2$

490. a) Высота прямого параллелепипеда равна $h$, а стороны его основания $a$ и $b$. Чему должен быть равен двугранный угол при боковом ребре параллелепипеда, чтобы его объем был наибольшим? Найдите этот объем.

б) Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов, сумма трех измерений которых равна $d$, наибольший объем имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.

a)

Дано:

Высота прямого параллелепипеда: $h$

Стороны основания: $a$, $b$

Перевод в СИ:

Параметры даны в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Двугранный угол $\alpha$ для наибольшего объема.

Наибольший объем $V_{max}$.

Решение:

Объем прямого параллелепипеда определяется произведением площади его основания на высоту. Площадь основания параллелепипеда, которое является параллелограммом со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними, равна $S_{осн} = ab \sin(\alpha)$.

Таким образом, объем параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot h = ab \sin(\alpha) h$.

Для того чтобы объем $V$ был наибольшим, при фиксированных значениях $a$, $b$, и $h$, необходимо, чтобы значение $\sin(\alpha)$ было максимальным. Максимальное значение функции синуса равно $1$, и достигается оно при угле $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

В этом случае основание параллелепипеда становится прямоугольником, и сам параллелепипед является прямоугольным.

Наибольший объем будет равен $V_{max} = ab \cdot 1 \cdot h = abh$.

Ответ: Двугранный угол должен быть равен $90^\circ$. Наибольший объем равен $abh$.

b)

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $x, y, z$.

Сумма трех измерений: $x + y + z = d$.

Перевод в СИ:

Параметры даны в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать, что наибольший объем имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда выражается формулой $V = xyz$.

Нам дано, что $x + y + z = d$. Требуется найти наибольшее значение произведения $xyz$ при фиксированной сумме $x+y+z=d$.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM inequality). Для любых неотрицательных чисел $x, y, z$ выполняется неравенство:

$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$

Подставим заданную сумму $x + y + z = d$ в неравенство:

$\frac{d}{3} \ge \sqrt[3]{V}$

Возведем обе части неравенства в куб:

$\left(\frac{d}{3}\right)^3 \ge V$

$V \le \frac{d^3}{27}$

Это неравенство показывает, что максимальное значение объема $V$ не может превышать $\frac{d^3}{27}$.

Равенство в неравенстве AM-GM достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой, то есть $x = y = z$.

Из условия $x + y + z = d$ и $x = y = z$ следует, что $3x = d$, откуда $x = \frac{d}{3}$.

Таким образом, наибольший объем достигается, когда все измерения параллелепипеда равны между собой, то есть он является кубом с ребром $\frac{d}{3}$.

Ответ: Доказано, что наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, сумма трех измерений которого равна $d$, имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.

491. a) Требуется изготовить ящик с крышкой формы прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен $9 м^3$, причем стороны основания должны относиться как $1 : 2$. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы площадь его поверхности была наименьшей?

б) Объем правильной треугольной призмы равен $16 дм^3$. Каковы должны быть длины стороны основания и высоты призмы, чтобы площадь ее поверхности была наименьшей?

а) Требуется изготовить ящик с крышкой формы прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 9 м³, причем стороны основания должны относиться как 1 : 2. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы площадь его поверхности была наименьшей?

Дано:

Форма ящика: прямоугольный параллелепипед.

Объем ящика: $V = 9 \text{ м}^3$.

Соотношение сторон основания: $a:b = 1:2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Найти:

Размеры ящика (стороны основания $a, b$ и высота $h$), при которых площадь поверхности $S$ будет наименьшей.

Решение:

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда будут $a$ и $b$, а высота - $h$.

Из условия $a:b = 1:2$ мы можем записать $b = 2a$.

Объем прямоугольного параллелепипеда выражается формулой $V = a \cdot b \cdot h$.

Подставим $b = 2a$ в формулу объема: $V = a \cdot (2a) \cdot h = 2a^2h$.

Так как $V = 9 \text{ м}^3$, имеем $9 = 2a^2h$. Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{9}{2a^2}$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (с учетом крышки) выражается формулой $S = 2(ab + ah + bh)$.

Подставим $b = 2a$ в формулу площади поверхности:

$S = 2(a \cdot 2a + a \cdot h + 2a \cdot h) = 2(2a^2 + 3ah)$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$S(a) = 2\left(2a^2 + 3a \cdot \frac{9}{2a^2}\right) = 2\left(2a^2 + \frac{27}{2a}\right)$.

Раскроем скобки:

$S(a) = 4a^2 + \frac{27}{a}$.

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю:

$S'(a) = \frac{d}{da}(4a^2 + 27a^{-1}) = 8a - 27a^{-2} = 8a - \frac{27}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$8a - \frac{27}{a^2} = 0$

$8a = \frac{27}{a^2}$

$8a^3 = 27$

$a^3 = \frac{27}{8}$

$a = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ м}$.

Проверим, что это точка минимума, с помощью второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da}(8a - 27a^{-2}) = 8 + 54a^{-3} = 8 + \frac{54}{a^3}$.

При $a = 1.5 \text{ м}$, $S''(1.5) = 8 + \frac{54}{(1.5)^3} = 8 + \frac{54}{3.375} > 0$. Следовательно, это точка минимума.

Теперь найдем остальные размеры ящика:

$b = 2a = 2 \cdot 1.5 = 3 \text{ м}$.

$h = \frac{9}{2a^2} = \frac{9}{2(1.5)^2} = \frac{9}{2(2.25)} = \frac{9}{4.5} = 2 \text{ м}$.

Ответ: Размеры ящика должны быть $1.5 \text{ м} \times 3 \text{ м} \times 2 \text{ м}$.

б) Объем правильной треугольной призмы равен 16 дм³. Каковы должны быть длины стороны основания и высоты призмы, чтобы площадь ее поверхности была наименьшей?

Дано:

Форма: правильная треугольная призма.

Объем призмы: $V = 16 \text{ дм}^3$.

Перевод в СИ:

Объем $V = 16 \text{ дм}^3 = 16 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 0.016 \text{ м}^3$. Однако, для удобства вычислений, и так как конечные единицы не указаны, расчеты будут проводиться в дециметрах.

Найти:

Длины стороны основания $a$ и высоты $h$ призмы, при которых площадь поверхности $S$ будет наименьшей.

Решение:

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы - $h$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник.

Площадь основания $A_{осн}$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$A_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$V = A_{осн} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2h$.

Известно, что $V = 16 \text{ дм}^3$. Выразим высоту $h$ через $a$:

$16 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2h \Rightarrow h = \frac{16 \cdot 4}{\sqrt{3}a^2} = \frac{64}{\sqrt{3}a^2}$.

Площадь поверхности $S$ правильной треугольной призмы состоит из двух площадей оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников (граней).

$S = 2A_{осн} + P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр основания равностороннего треугольника: $P_{осн} = 3a$.

$S = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + 3a \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 3ah$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 3a \left(\frac{64}{\sqrt{3}a^2}\right)$.

Упростим выражение:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{192}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{192\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{64\sqrt{3}}{a}$.

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю:

$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 64\sqrt{3}a^{-1}\right) = \sqrt{3}a - 64\sqrt{3}a^{-2} = \sqrt{3}a - \frac{64\sqrt{3}}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$\sqrt{3}a - \frac{64\sqrt{3}}{a^2} = 0$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \ne 0$):

$a - \frac{64}{a^2} = 0$

$a = \frac{64}{a^2}$

$a^3 = 64$

$a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ дм}$.

Проверим, что это точка минимума, с помощью второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da}\left(\sqrt{3}a - 64\sqrt{3}a^{-2}\right) = \sqrt{3} + 128\sqrt{3}a^{-3} = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{a^3}$.

При $a = 4 \text{ дм}$, $S''(4) = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{4^3} = \sqrt{3} + \frac{128\sqrt{3}}{64} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} > 0$. Следовательно, это точка минимума.

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \frac{64}{\sqrt{3}a^2} = \frac{64}{\sqrt{3}(4)^2} = \frac{64}{\sqrt{3} \cdot 16} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ дм}$.

Можно рационализировать знаменатель: $h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ дм}$.

Ответ: Длина стороны основания призмы должна быть $4 \text{ дм}$, а высота призмы $-\frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ дм}$.