Страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

465. Хорда нижнего основания цилиндра, равная 6 дм, удалена от его центра на расстояние 4 дм, а от центра верхнего основания – на 5 дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

$L = 6 \text{ дм}$

$d_1 = 4 \text{ дм}$

$d_2 = 5 \text{ дм}$

Переведем данные в систему СИ:

$L = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$d_1 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$d_2 = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн} - ?$

Решение:

Обозначим радиус основания цилиндра через $R$, а его высоту через $H$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Хорда длиной $L$ в окружности радиуса $R$ удалена от центра на расстояние $d_1$. Половина хорды ($L/2$), расстояние от центра до хорды ($d_1$) и радиус окружности ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора:

$R^2 = (L/2)^2 + d_1^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = (0.6 \text{ м} / 2)^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$R^2 = (0.3 \text{ м})^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$R^2 = 0.09 \text{ м}^2 + 0.16 \text{ м}^2$

$R^2 = 0.25 \text{ м}^2$

$R = \sqrt{0.25 \text{ м}^2} = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром нижнего основания, серединой хорды, и центром верхнего основания. В этом треугольнике высота цилиндра $H$ является одним из катетов, расстояние от центра нижнего основания до хорды $d_1$ — другим катетом, а расстояние от центра верхнего основания до хорды $d_2$ — гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора:

$d_2^2 = d_1^2 + H^2$

Выразим высоту $H$:

$H^2 = d_2^2 - d_1^2$

Подставим известные значения:

$H^2 = (0.5 \text{ м})^2 - (0.4 \text{ м})^2$

$H^2 = 0.25 \text{ м}^2 - 0.16 \text{ м}^2$

$H^2 = 0.09 \text{ м}^2$

$H = \sqrt{0.09 \text{ м}^2} = 0.3 \text{ м}$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$

Эту формулу можно переписать как:

$S_{полн} = 2\pi R(R + H)$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{полн} = 2\pi (0.5 \text{ м}) (0.5 \text{ м} + 0.3 \text{ м})$

$S_{полн} = 2\pi (0.5 \text{ м}) (0.8 \text{ м})$

$S_{полн} = \pi (1.0 \text{ м}) (0.8 \text{ м})$

$S_{полн} = 0.8\pi \text{ м}^2$

Ответ:

$0.8\pi \text{ м}^2$

466. Найдите площадь боковой поверхности конуса, у которого образующая равна $6\sqrt{3}$ см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Дано:

образующая конуса $l = 6\sqrt{3}$ см

угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Длина образующей $l = 6\sqrt{3}$ см $= 0.06\sqrt{3}$ м. (Для удобства расчетов и сохранения точности можно оставить в сантиметрах до финального ответа)

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Найти:

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, $l$ – длина образующей конуса.

Из условия задачи нам известна длина образующей $l = 6\sqrt{3}$ см и угол $\alpha = 60^\circ$, под которым образующая наклонена к плоскости основания. Образующая, радиус основания и высота конуса образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, радиус основания $r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Следовательно, радиус основания можно найти, используя косинус угла $\alpha$:

$r = l \cos(\alpha)$

Подставляем известные значения:

$r = 6\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ)$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$r = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$

$r = 3\sqrt{3}$ см

Теперь, когда у нас есть и радиус основания $r$, и длина образующей $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l$

$S_{бок} = \pi \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3})$

$S_{бок} = \pi \cdot (3 \cdot 6) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$S_{бок} = \pi \cdot 18 \cdot 3$

$S_{бок} = 54\pi$ см$^2$

Ответ: $54\pi$ см$^2$

467. Найдите площадь полной поверхности равностороннего конуса, высота которого равна $2\sqrt{3}$ см.

Дано

Равносторонний конус.

Высота $h = 2\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ:

$h = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{total}$.

Решение

1. Для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания, то есть $l = 2r$, где $r$ – радиус основания.

2. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

3. Подставим $l = 2r$ в уравнение теоремы Пифагора:

$(2r)^2 = r^2 + h^2$

$4r^2 = r^2 + h^2$

$3r^2 = h^2$

$r^2 = \frac{h^2}{3}$

$r = \frac{h}{\sqrt{3}}$

4. Подставим значение $h = 2\sqrt{3}$ см:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

5. Найдем образующую $l$:

$l = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

6. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{total} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$.

7. Подставим значения $r = 2$ см и $l = 4$ см:

$S_{total} = \pi \cdot 2 (2 + 4) = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi$ см$^2$.

Ответ:

$S_{total} = 12\pi$ см$^2$.

468. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°. Найдите центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса.

Дано

Угол при вершине осевого сечения конуса: $\alpha = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса: $\phi$

Решение

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вершиной которого является вершина конуса, а основанием – диаметр основания конуса. Пусть $L$ – длина образующей конуса (равная боковой стороне равнобедренного треугольника), а $R$ – радиус основания конуса (равный половине основания треугольника). Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$.

Если провести высоту из вершины конуса к центру основания, она разделит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна образующей $L$, а катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен радиусу основания $R$.

Таким образом, из определения синуса в прямоугольном треугольнике получаем: $R = L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Центральный угол $\phi$ кругового сектора (в радианах) связан с его радиусом $L$ и длиной дуги $C$ формулой: $C = L\phi$

Подставим выражение для $C$: $2\pi R = L\phi$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $R$ из осевого сечения: $2\pi \left(L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = L\phi$

Поскольку $L \ne 0$, мы можем сократить $L$ с обеих сторон уравнения: $\phi = 2\pi \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Дано, что угол при вершине осевого сечения $\alpha = 60^\circ$. Вычислим $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Найдем значение синуса $30^\circ$: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в формулу для $\phi$: $\phi = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$ радиан

Если требуется ответ в градусах, переведем радианы в градусы, зная, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$: $\phi = 180^\circ$

Ответ:

Центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

469. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2см и 4см. Найдите площадь сечения этого усеченного конуса плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через середину его высоты.

Дано:
Радиус меньшего основания усеченного конуса: $r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Радиус большего основания усеченного конуса: $r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
Плоскость сечения параллельна основаниям и проходит через середину высоты конуса.

Найти:
Площадь сечения: $S_{сеч}$

Решение:
Сечение усеченного конуса плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг. Радиус этого круга можно найти, используя свойство усеченного конуса. Если плоскость проходит через середину высоты усеченного конуса, то радиус сечения $r_{сеч}$ является средним арифметическим радиусов оснований.

Таким образом, радиус сечения определяется по формуле:
$r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$
Подставим известные значения радиусов оснований:
$r_{сеч} = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Площадь кругового сечения вычисляется по стандартной формуле площади круга:
$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$
Подставим найденное значение радиуса сечения:
$S_{сеч} = \pi (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ:
Площадь сечения составляет $9\pi \text{ см}^2$.

470. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3, его высота равна 8см, а образующая наклонена к нижнему основанию под углом 45°. Найдите площадь полной поверхности этого усеченного конуса.

Дано:

Отношение радиусов оснований усеченного конуса: $r_1 : r_2 = 1 : 3$

Высота усеченного конуса: $H = 8 \text{ см}$

Угол наклона образующей к нижнему основанию: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса: $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченного конуса состоит из площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

где $S_{осн1} = \pi r_1^2$, $S_{осн2} = \pi r_2^2$, и $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$, где $L$ - длина образующей.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Если из вершины меньшего радиуса опустить перпендикуляр на большее основание, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

Катет, равный высоте, составляет $H$.

Катет, лежащий на нижнем основании, равен разности радиусов $r_2 - r_1$.

Гипотенуза равна образующей $L$.

Угол между образующей $L$ и катетом $(r_2 - r_1)$ равен $\alpha = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника, используя тангенс угла $\alpha$:

$\tan \alpha = \frac{H}{r_2 - r_1}$

Подставим известные значения: $\tan 45^\circ = 1$, $H = 0.08 \text{ м}$

$1 = \frac{0.08}{r_2 - r_1}$

Отсюда, $r_2 - r_1 = 0.08 \text{ м}$.

Нам дано отношение радиусов $r_1 : r_2 = 1 : 3$, то есть $r_2 = 3r_1$.

Подставим это в уравнение для разности радиусов:

$3r_1 - r_1 = 0.08$

$2r_1 = 0.08$

$r_1 = 0.04 \text{ м}$

Теперь найдем $r_2$:

$r_2 = 3 \times 0.04 = 0.12 \text{ м}$

Далее найдем длину образующей $L$. Используем синус угла $\alpha$:

$\sin \alpha = \frac{H}{L}$

Подставим известные значения: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $H = 0.08 \text{ м}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{0.08}{L}$

$L = \frac{0.08 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{0.16}{\sqrt{2}} = \frac{0.16\sqrt{2}}{2} = 0.08\sqrt{2} \text{ м}$

Теперь рассчитаем площади:

Площадь нижнего основания ($r_2 = 0.12 \text{ м}$):

$S_{осн2} = \pi r_2^2 = \pi (0.12)^2 = 0.0144\pi \text{ м}^2$

Площадь верхнего основания ($r_1 = 0.04 \text{ м}$):

$S_{осн1} = \pi r_1^2 = \pi (0.04)^2 = 0.0016\pi \text{ м}^2$

Площадь боковой поверхности ($r_1 = 0.04 \text{ м}$, $r_2 = 0.12 \text{ м}$, $L = 0.08\sqrt{2} \text{ м}$):

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L = \pi (0.04 + 0.12) (0.08\sqrt{2})$

$S_{бок} = \pi (0.16) (0.08\sqrt{2}) = 0.0128\pi\sqrt{2} \text{ м}^2$

Площадь полной поверхности усеченного конуса:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S_{полн} = 0.0016\pi + 0.0144\pi + 0.0128\pi\sqrt{2}$

$S_{полн} = 0.0160\pi + 0.0128\pi\sqrt{2}$

$S_{полн} = \pi (0.0160 + 0.0128\sqrt{2}) \text{ м}^2$

Для удобства можно перевести ответ обратно в см$^2$, так как исходные данные были в см ($1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$):

$S_{полн} = \pi (0.0160 + 0.0128\sqrt{2}) \times 10000 \text{ см}^2$

$S_{полн} = \pi (160 + 128\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна $\pi (160 + 128\sqrt{2}) \text{ см}^2$.

471. Шар радиуса 6 см касается всех сторон правильного треугольника со стороной $4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника.

Дано:

Радиус шара: $R = 6 \text{ см}$

Сторона правильного треугольника: $a = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Перевод данных в систему СИ:

Радиус шара: $R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Сторона правильного треугольника: $a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 0.04\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Расстояние от центра шара до плоскости треугольника: $d$

Решение:

1. Поскольку шар касается всех сторон правильного треугольника, проекция центра шара на плоскость треугольника совпадает с центром вписанной окружности этого треугольника. Для правильного (равностороннего) треугольника центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности и центроидом.

2. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника ($d$), радиус вписанной в треугольник окружности ($r$) и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

3. Сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности в правильный треугольник:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 4\sqrt{3} \text{ см}$:

$r = \frac{4\sqrt{3} \text{ см}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ см}$

4. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения расстояния $d$:

$d^2 = R^2 - r^2$

$d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим известные значения $R = 6 \text{ см}$ и $r = 2 \text{ см}$:

$d = \sqrt{(6 \text{ см})^2 - (2 \text{ см})^2}$

$d = \sqrt{36 \text{ см}^2 - 4 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{32 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{16 \times 2} \text{ см}$

$d = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника составляет $4\sqrt{2} \text{ см}$.

472. Сравните площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, равной $a$, и площадь сферы радиуса $a$.

Дано:

Сторона квадрата: $a$

Радиус сферы: $a$

Найти:

Сравнить площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, и площадь сферы радиуса $a$.

Решение:

1. Определим площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны.

При вращении квадрата со стороной $a$ вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата, то есть $h = a$. Радиус основания цилиндра $r$ также будет равен стороне квадрата, то есть $r = a$.

Площадь поверхности цилиндра $S_{цилиндра}$ состоит из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2 \pi r h$

Подставляя значения $r = a$ и $h = a$:$S_{бок} = 2 \pi (a)(a) = 2 \pi a^2$

Площадь каждого основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \pi r^2$

Подставляя значение $r = a$:$S_{осн} = \pi a^2$

Общая площадь поверхности цилиндра:$S_{цилиндра} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$$S_{цилиндра} = 2 \pi a^2 + 2 (\pi a^2) = 2 \pi a^2 + 2 \pi a^2 = 4 \pi a^2$

2. Определим площадь сферы радиуса $a$.

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле:$S_{сферы} = 4 \pi R^2$

В данном случае радиус сферы равен $a$, поэтому:$S_{сферы} = 4 \pi a^2$

3. Сравним полученные площади.

Площадь поверхности тела, образованного вращением квадрата, равна $4 \pi a^2$.

Площадь поверхности сферы радиуса $a$ также равна $4 \pi a^2$.

Таким образом, $S_{цилиндра} = S_{сферы}$.

Ответ:

Площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, равна площади сферы радиуса $a$.