Страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

441. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм.

Дано:

Высота конуса $H_к = 8$ дм
Радиус основания конуса $R_к = 6$ дм

В системе СИ:
$H_к = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$
$R_к = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок, max}$.

Решение:

Пусть $h$ - высота цилиндра, а $r$ - радиус его основания. Площадь боковой поверхности цилиндра выражается формулой:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным в него цилиндром. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник. Вершина конуса находится вверху. Высота конуса $H_к$ и его радиус $R_к$. Высота цилиндра $h$ и его радиус $r$.

Из подобия треугольников (образованных высотой конуса, его радиусом и образующей, а также высотой части конуса над цилиндром, радиусом цилиндра и соответствующей образующей) следует соотношение:
$ \frac{r}{R_к} = \frac{H_к - h}{H_к} $

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:
$ H_к r = R_к (H_к - h)$
$ H_к r = R_к H_к - R_к h$
$ R_к h = R_к H_к - H_к r$
$ h = H_к - \frac{H_к}{R_к} r$
$ h = H_к \left(1 - \frac{r}{R_к}\right) $

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
$ S_{бок}(r) = 2 \pi r \cdot H_к \left(1 - \frac{r}{R_к}\right) $
$ S_{бок}(r) = 2 \pi H_к \left( r - \frac{r^2}{R_к} \right) $

Для нахождения наибольшей площади, найдем производную функции $S_{бок}(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю:
$ \frac{dS_{бок}}{dr} = 2 \pi H_к \left( 1 - \frac{2r}{R_к} \right) $

Приравниваем производную к нулю:
$ 1 - \frac{2r}{R_к} = 0 $
$ \frac{2r}{R_к} = 1 $
$ r = \frac{R_к}{2} $

Это значение $r$ соответствует максимуму, так как вторая производная $ \frac{d^2S_{бок}}{dr^2} = 2 \pi H_к \left( -\frac{2}{R_к} \right) = -\frac{4 \pi H_к}{R_к} $ отрицательна.

Найдем высоту цилиндра $h$ при этом значении $r$:
$ h = H_к \left(1 - \frac{R_к/2}{R_к}\right) = H_к \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{H_к}{2} $

Теперь подставим значения $r = \frac{R_к}{2}$ и $h = \frac{H_к}{2}$ в формулу для $S_{бок}$:
$ S_{бок, max} = 2 \pi \left(\frac{R_к}{2}\right) \left(\frac{H_к}{2}\right) $
$ S_{бок, max} = \frac{\pi R_к H_к}{2} $

Подставим численные значения $H_к = 0.8 \text{ м}$ и $R_к = 0.6 \text{ м}$:
$ S_{бок, max} = \frac{\pi \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м}}{2} $
$ S_{бок, max} = \frac{0.48 \pi}{2} \text{ м}^2 $
$ S_{бок, max} = 0.24 \pi \text{ м}^2 $

Ответ:

$0.24 \pi \text{ м}^2$

442. Плоскость, образующая с осью цилиндра угол 45°, делит ось в отношении 1 : 3. Найдите радиус сечения этой плоскостью вписанного в цилиндр шара, если высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см.

Дано:

Высота цилиндра $H = 4\sqrt{2}$ см.
Угол плоскости с осью цилиндра $\alpha = 45^\circ$.
Плоскость делит ось цилиндра в отношении $1:3$.
В цилиндр вписан шар.

Перевод в СИ:

$H = 4\sqrt{2}$ см $= 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м.
(Радиус сечения будет также вычислен в сантиметрах, так как все исходные данные находятся в одной системе единиц (СГС)).

Найти:

Радиус сечения шара этой плоскостью $r_{section}$.

Решение:

Если шар вписан в цилиндр, это означает, что шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого следует, что высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

Таким образом, радиус шара $R_{sphere}$ равен половине высоты цилиндра:
$R_{sphere} = \frac{H}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Центр шара находится в середине оси цилиндра. Плоскость делит ось цилиндра в отношении $1:3$. Пусть общая длина оси (высота цилиндра) равна $H$. Тогда части оси составляют $H \cdot \frac{1}{1+3} = \frac{H}{4}$ и $H \cdot \frac{3}{1+3} = \frac{3H}{4}$.
Таким образом, точка пересечения плоскости с осью находится на расстоянии $\frac{H}{4}$ от одного из оснований цилиндра.

Расстояние от центра шара (который находится на середине оси цилиндра, то есть на расстоянии $\frac{H}{2}$ от оснований) до точки пересечения плоскости с осью равно:
$h_{dist\_axis} = \left| \frac{H}{2} - \frac{H}{4} \right| = \frac{H}{4}$.
Подставляя значение $H$:
$h_{dist\_axis} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем перпендикулярное расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Из геометрии известно, что если линия (ось цилиндра) проходит через точку (центр шара) и образует угол $\alpha$ с плоскостью, то перпендикулярное расстояние от точки до плоскости равно произведению расстояния от точки до точки пересечения линии с плоскостью на синус угла $\alpha$.
$d = h_{dist\_axis} \cdot \sin(\alpha)$.
Подставляем значения:
$d = \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга $r_{section}$ можно найти по теореме Пифагора, используя радиус шара $R_{sphere}$ и перпендикулярное расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения:
$r_{section}^2 = R_{sphere}^2 - d^2$.
$r_{section} = \sqrt{R_{sphere}^2 - d^2}$.
Подставляем значения $R_{sphere} = 2\sqrt{2}$ см и $d = 1$ см:
$r_{section} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{(4 \cdot 2) - 1} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7}$ см.

Ответ:

Радиус сечения шара равен $\sqrt{7}$ см.

443. В конус вписана правильная треугольная пирамида, высота которой равна 20 см, а расстояние от основания этой высоты до плоскости боковой грани пирамиды равно 12 см. Найдите радиус сферы, описанной около этого конуса.

Дано:

Высота правильной треугольной пирамиды $H_{пирамиды} = 20 \text{ см}$.

Расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости боковой грани пирамиды $r_{вписанной\_основания} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$H_{пирамиды} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

$r_{вписанной\_основания} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Радиус сферы, описанной около конуса $R_s$.

Решение:

Так как правильная треугольная пирамида вписана в конус, это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса (круг). Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса: $H = H_{пирамиды} = 20 \text{ см}$.

Основание пирамиды — это правильный треугольник. Основание высоты пирамиды совпадает с центром этого треугольника. Расстояние от центра правильного треугольника до его стороны (плоскости боковой грани) является радиусом вписанной в треугольник окружности. Этот радиус $r_{вписанной\_основания}$ равен $12 \text{ см}$.

Радиус основания конуса $R_c$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника основания пирамиды. Для правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $R_c = 2 \cdot r_{вписанной\_основания}$.

Вычислим радиус основания конуса:$R_c = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Для сферы, описанной около конуса, радиус $R_s$ может быть найден по формуле, которая связывает радиус основания конуса $R_c$ и его высоту $H$:$R_s = \frac{R_c^2 + H^2}{2H}$.

Подставим известные значения $R_c = 24 \text{ см}$ и $H = 20 \text{ см}$:$R_s = \frac{(24 \text{ см})^2 + (20 \text{ см})^2}{2 \cdot 20 \text{ см}}$$R_s = \frac{576 \text{ см}^2 + 400 \text{ см}^2}{40 \text{ см}}$$R_s = \frac{976 \text{ см}^2}{40 \text{ см}}$$R_s = 24.4 \text{ см}$.

Ответ:

Радиус сферы, описанной около этого конуса, равен $24.4 \text{ см}$.

444. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в правильную треугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $b$ и наклонено к основанию под углом $\alpha$.

Дано:

Пирамида: правильная треугольная

Боковое ребро пирамиды: $L = b$

Угол наклона бокового ребра к основанию: $\beta = \alpha$

Цилиндр: равносторонний (высота равна диаметру основания)

Цилиндр вписан в пирамиду.

Найти:

Высота цилиндра: $H_c$

Решение:

Пусть $H_p$ — высота пирамиды. Пусть $R_{base}$ — радиус описанной окружности основания пирамиды, а $r_{base}$ — радиус вписанной окружности основания пирамиды.

Так как пирамида правильная треугольная, ее основанием является равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, ее высотой и радиусом описанной окружности основания.

Из этого треугольника можем выразить высоту пирамиды и радиус описанной окружности основания:

$H_p = L \sin \beta = b \sin \alpha$

$R_{base} = L \cos \beta = b \cos \alpha$

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности соотношением $r_{base} = \frac{R_{base}}{2}$.

Следовательно, радиус вписанной окружности основания пирамиды равен:

$r_{base} = \frac{b \cos \alpha}{2}$

Пусть $H_c$ — высота равностороннего цилиндра, а $R_c$ — радиус его основания. По условию, цилиндр является равносторонним, что означает:

$H_c = 2R_c$

Поскольку цилиндр вписан в пирамиду (его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание касается боковых граней), ось цилиндра совпадает с высотой пирамиды. Радиус верхнего основания цилиндра $R_c$ связан с радиусом вписанной окружности основания пирамиды $r_{base}$ через подобие треугольников.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания. В этом сечении мы видим треугольник, подобный треугольнику, образованному высотой пирамиды над верхним основанием цилиндра и радиусом верхнего основания цилиндра. Используя подобие, получаем следующее соотношение:

$\frac{R_c}{r_{base}} = \frac{H_p - H_c}{H_p}$

Выразим $R_c$:

$R_c = r_{base} \left(1 - \frac{H_c}{H_p}\right)$

Теперь подставим ранее найденные выражения для $r_{base}$ и $H_p$:

$R_c = \frac{b \cos \alpha}{2} \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Далее, подставим $R_c = \frac{H_c}{2}$ (из условия равностороннего цилиндра) в это уравнение:

$\frac{H_c}{2} = \frac{b \cos \alpha}{2} \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$H_c = b \cos \alpha \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Раскроем скобки:

$H_c = b \cos \alpha - \frac{b \cos \alpha \cdot H_c}{b \sin \alpha}$

Сократим $b$ во втором слагаемом и заменим $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ на $\cot \alpha$:

$H_c = b \cos \alpha - H_c \cot \alpha$

Перенесем слагаемое, содержащее $H_c$, в левую часть уравнения:

$H_c + H_c \cot \alpha = b \cos \alpha$

Вынесем $H_c$ за скобки:

$H_c (1 + \cot \alpha) = b \cos \alpha$

Преобразуем выражение в скобках, используя $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:

$1 + \cot \alpha = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Подставим это обратно в уравнение и выразим $H_c$:

$H_c \left(\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) = b \cos \alpha$

$H_c = b \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Окончательно упростим выражение:

$H_c = b \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Можно также разделить числитель и знаменатель на $\cos \alpha$ (при условии $\cos \alpha \neq 0$):

$H_c = b \frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = b \frac{\sin \alpha}{\tan \alpha + 1} = b \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$

Ответ:

Высота равностороннего цилиндра равна $b \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$.

445. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого равна 1 дм².

Тогда площадь основания цилиндра равна:

1) $0.25\pi$ дм²;

2) 0,8 дм²;

3) 1 дм²;

4) $0.5\pi$ дм²;

5) $\frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ дм².

Дано:

Осевое сечение цилиндра — квадрат.

Площадь осевого сечения $S_{сеч} = 1 \text{ дм}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 1 \text{ дм}^2 = 1 \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01 \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Его сторонами являются диаметр основания цилиндра ($D$) и высота цилиндра ($H$).

По условию, осевое сечение является квадратом, что означает, что его стороны равны. Следовательно, диаметр основания равен высоте цилиндра: $D = H$.

Площадь квадрата $S_{сеч}$ вычисляется как квадрат его стороны. Так как сторона квадрата равна диаметру $D$ (и высоте $H$), то:

$S_{сеч} = D^2$

Нам дано, что $S_{сеч} = 1 \text{ дм}^2$. Подставим это значение:

$D^2 = 1 \text{ дм}^2$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти диаметр:

$D = \sqrt{1} \text{ дм}$

$D = 1 \text{ дм}$

Диаметр основания цилиндра $D$ равен двум радиусам основания $R$:

$D = 2R$

Отсюда найдем радиус основания цилиндра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{1 \text{ дм}}{2} = 0.5 \text{ дм}$

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ (которое является кругом) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставим найденное значение радиуса $R = 0.5 \text{ дм}$:

$S_{осн} = \pi (0.5 \text{ дм})^2$

$S_{осн} = \pi (0.25 \text{ дм}^2)$

$S_{осн} = 0.25\pi \text{ дм}^2$

Ответ:

$0.25\pi \text{ дм}^2$

446. Высота цилиндра 6 см, а радиус его основания 5 см. Тогда площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси на расстоянии 4 см от нее, равна:

1) $30\sqrt{2}$ см$^2$;

2) $24\sqrt{3}$ см$^2$;

3) $24$ см$^2$;

4) $36$ см$^2$;

5) $30$ см$^2$.

Дано:

$H = 6 \text{ см}$ (высота цилиндра)

$R = 5 \text{ см}$ (радиус основания)

$d = 4 \text{ см}$ (расстояние от оси до сечения)

Перевод в СИ:

$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$d = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$S$ (площадь сечения)

Решение:

Сечение цилиндра, проведенное параллельно его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Другая сторона — это длина хорды, которая образуется в основании цилиндра, находящаяся на расстоянии $d$ от центра.

Рассмотрим основание цилиндра, которое является кругом с радиусом $R$. Сечение пересекает основание по хорде. Расстояние от центра круга до этой хорды равно $d$. Половина длины хорды $x$, радиус $R$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = R^2 - d^2$

Подставим значения из условия задачи:

$x^2 = (5 \text{ см})^2 - (4 \text{ см})^2$

$x^2 = 25 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2$

$x^2 = 9 \text{ см}^2$

Найдем $x$:

$x = \sqrt{9 \text{ см}^2}$

$x = 3 \text{ см}$

Длина всей хорды (ширина прямоугольного сечения) равна $2x$:

Ширина сечения $= 2 \cdot x = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Высота прямоугольного сечения равна высоте цилиндра $H = 6 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного сечения $S$ вычисляется как произведение его сторон:

$S = \text{Высота сечения} \cdot \text{Ширина сечения}$

$S = H \cdot (2x)$

$S = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$

$S = 36 \text{ см}^2$

Ответ:

$36 \text{ см}^2$

447. В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена отрезком с точкой окружности нижнего основания, при этом угол между радиусами окружностей, проведенными в эти точки, равен 60°. Тогда тангенс угла между осью цилиндра и прямой, содержащей указанный отрезок равен:

1) 1;

2) $1/2$;

3) $\sqrt{3}$;

4) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

5) 2.

Дано:

Равносторонний цилиндр (высота $H$ равна диаметру $2R$, где $R$ - радиус основания).
Точка $A$ на окружности верхнего основания.
Точка $B$ на окружности нижнего основания.
Угол между радиусами, проведенными в эти точки (если их привести к общему центру), равен $60^\circ$.

Перевод в СИ:

Пусть радиус цилиндра $R$.
Высота цилиндра $H = 2R$.
Угол между радиусами $\phi = 60^\circ$.

Найти:

Тангенс угла между осью цилиндра и прямой, содержащей отрезок $AB$.

Решение:

1. Пусть $R$ - радиус основания цилиндра. Поскольку цилиндр равносторонний, его высота $H$ равна диаметру основания: $H = 2R$.
2. Пусть $O_1$ - центр верхнего основания, а $O_2$ - центр нижнего основания. Точка $A$ лежит на окружности верхнего основания, а точка $B$ - на окружности нижнего основания.
3. Проведем радиус $O_1A$ и радиус $O_2B$. Угол между ними, если их привести к общему началу (например, параллельным переносом), равен $60^\circ$.
4. Спроецируем точку $A$ на плоскость нижнего основания. Получим точку $A'$. Отрезок $AA'$ перпендикулярен плоскости нижнего основания и его длина равна высоте цилиндра, то есть $AA' = H = 2R$.
5. Точки $A'$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания. $O_2A'$ и $O_2B$ являются радиусами этого основания. Угол $A'O_2B$ равен $60^\circ$.
6. Рассмотрим треугольник $A'O_2B$. Это равнобедренный треугольник, так как $O_2A' = O_2B = R$. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, треугольник $A'O_2B$ является равносторонним. Следовательно, длина отрезка $A'B$ (хорды) равна радиусу $R$: $A'B = R$.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'B$. Гипотенуза этого треугольника - это отрезок $AB$. Катеты - $AA'$ и $A'B$. Длина катета $AA'$ равна $H = 2R$, а длина катета $A'B$ равна $R$.
8. Ось цилиндра проходит через центры $O_1$ и $O_2$ и параллельна отрезку $AA'$. Угол между отрезком $AB$ и осью цилиндра - это угол $\alpha$ между отрезком $AB$ и отрезком $AA'$.
9. В прямоугольном треугольнике $AA'B$ тангенс угла $\alpha$ (который лежит при вершине $A$) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A'B}{AA'}$
10. Подставим значения $A'B = R$ и $AA' = 2R$: $\tan \alpha = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$