Номер 442, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

442. Плоскость, образующая с осью цилиндра угол 45°, делит ось в отношении 1 : 3. Найдите радиус сечения этой плоскостью вписанного в цилиндр шара, если высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см.

Дано:

Высота цилиндра $H = 4\sqrt{2}$ см.
Угол плоскости с осью цилиндра $\alpha = 45^\circ$.
Плоскость делит ось цилиндра в отношении $1:3$.
В цилиндр вписан шар.

Перевод в СИ:

$H = 4\sqrt{2}$ см $= 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м.
(Радиус сечения будет также вычислен в сантиметрах, так как все исходные данные находятся в одной системе единиц (СГС)).

Найти:

Радиус сечения шара этой плоскостью $r_{section}$.

Решение:

Если шар вписан в цилиндр, это означает, что шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого следует, что высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

Таким образом, радиус шара $R_{sphere}$ равен половине высоты цилиндра:
$R_{sphere} = \frac{H}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Центр шара находится в середине оси цилиндра. Плоскость делит ось цилиндра в отношении $1:3$. Пусть общая длина оси (высота цилиндра) равна $H$. Тогда части оси составляют $H \cdot \frac{1}{1+3} = \frac{H}{4}$ и $H \cdot \frac{3}{1+3} = \frac{3H}{4}$.
Таким образом, точка пересечения плоскости с осью находится на расстоянии $\frac{H}{4}$ от одного из оснований цилиндра.

Расстояние от центра шара (который находится на середине оси цилиндра, то есть на расстоянии $\frac{H}{2}$ от оснований) до точки пересечения плоскости с осью равно:
$h_{dist\_axis} = \left| \frac{H}{2} - \frac{H}{4} \right| = \frac{H}{4}$.
Подставляя значение $H$:
$h_{dist\_axis} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем перпендикулярное расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Из геометрии известно, что если линия (ось цилиндра) проходит через точку (центр шара) и образует угол $\alpha$ с плоскостью, то перпендикулярное расстояние от точки до плоскости равно произведению расстояния от точки до точки пересечения линии с плоскостью на синус угла $\alpha$.
$d = h_{dist\_axis} \cdot \sin(\alpha)$.
Подставляем значения:
$d = \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга $r_{section}$ можно найти по теореме Пифагора, используя радиус шара $R_{sphere}$ и перпендикулярное расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения:
$r_{section}^2 = R_{sphere}^2 - d^2$.
$r_{section} = \sqrt{R_{sphere}^2 - d^2}$.
Подставляем значения $R_{sphere} = 2\sqrt{2}$ см и $d = 1$ см:
$r_{section} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{(4 \cdot 2) - 1} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7}$ см.

Ответ:

Радиус сечения шара равен $\sqrt{7}$ см.