Номер 444, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

444. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в правильную треугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $b$ и наклонено к основанию под углом $\alpha$.

Дано:

Пирамида: правильная треугольная

Боковое ребро пирамиды: $L = b$

Угол наклона бокового ребра к основанию: $\beta = \alpha$

Цилиндр: равносторонний (высота равна диаметру основания)

Цилиндр вписан в пирамиду.

Найти:

Высота цилиндра: $H_c$

Решение:

Пусть $H_p$ — высота пирамиды. Пусть $R_{base}$ — радиус описанной окружности основания пирамиды, а $r_{base}$ — радиус вписанной окружности основания пирамиды.

Так как пирамида правильная треугольная, ее основанием является равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, ее высотой и радиусом описанной окружности основания.

Из этого треугольника можем выразить высоту пирамиды и радиус описанной окружности основания:

$H_p = L \sin \beta = b \sin \alpha$

$R_{base} = L \cos \beta = b \cos \alpha$

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности соотношением $r_{base} = \frac{R_{base}}{2}$.

Следовательно, радиус вписанной окружности основания пирамиды равен:

$r_{base} = \frac{b \cos \alpha}{2}$

Пусть $H_c$ — высота равностороннего цилиндра, а $R_c$ — радиус его основания. По условию, цилиндр является равносторонним, что означает:

$H_c = 2R_c$

Поскольку цилиндр вписан в пирамиду (его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание касается боковых граней), ось цилиндра совпадает с высотой пирамиды. Радиус верхнего основания цилиндра $R_c$ связан с радиусом вписанной окружности основания пирамиды $r_{base}$ через подобие треугольников.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания. В этом сечении мы видим треугольник, подобный треугольнику, образованному высотой пирамиды над верхним основанием цилиндра и радиусом верхнего основания цилиндра. Используя подобие, получаем следующее соотношение:

$\frac{R_c}{r_{base}} = \frac{H_p - H_c}{H_p}$

Выразим $R_c$:

$R_c = r_{base} \left(1 - \frac{H_c}{H_p}\right)$

Теперь подставим ранее найденные выражения для $r_{base}$ и $H_p$:

$R_c = \frac{b \cos \alpha}{2} \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Далее, подставим $R_c = \frac{H_c}{2}$ (из условия равностороннего цилиндра) в это уравнение:

$\frac{H_c}{2} = \frac{b \cos \alpha}{2} \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$H_c = b \cos \alpha \left(1 - \frac{H_c}{b \sin \alpha}\right)$

Раскроем скобки:

$H_c = b \cos \alpha - \frac{b \cos \alpha \cdot H_c}{b \sin \alpha}$

Сократим $b$ во втором слагаемом и заменим $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ на $\cot \alpha$:

$H_c = b \cos \alpha - H_c \cot \alpha$

Перенесем слагаемое, содержащее $H_c$, в левую часть уравнения:

$H_c + H_c \cot \alpha = b \cos \alpha$

Вынесем $H_c$ за скобки:

$H_c (1 + \cot \alpha) = b \cos \alpha$

Преобразуем выражение в скобках, используя $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:

$1 + \cot \alpha = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Подставим это обратно в уравнение и выразим $H_c$:

$H_c \left(\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) = b \cos \alpha$

$H_c = b \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Окончательно упростим выражение:

$H_c = b \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Можно также разделить числитель и знаменатель на $\cos \alpha$ (при условии $\cos \alpha \neq 0$):

$H_c = b \frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = b \frac{\sin \alpha}{\tan \alpha + 1} = b \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$

Ответ:

Высота равностороннего цилиндра равна $b \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$.